コーシー分布のパーセント点（分位点）計算 - 累積確率から求める

計算を入力してください

結果

パーセント点（分位点）x

6.313752

コーシー分布の値 x

計算に用いた下側累積確率 P	0.95
分位点関数	x = x0 + γ · tan( π · (P − 1/2) )

この計算ツールでできること

このツールは、ローレンツ分布とも呼ばれるコーシー分布のパーセント点（分位点・百分位点）を求めます。累積確率と、分布を決める2つの母数 — 位置母数x0（中央値かつピーク位置）と尺度母数γ（ガンマ、半値半幅）— を入力すると、その確率に達する値xを返します。純粋な数学であり、地域を問わず同じ結果になります。

使い方

まず累積モードを選びます。確率Pが左側（下側）確率 $ P = \text{Prob}(X \le x) $ のときは下側を、確率Qが右側（上側）確率 $ Q = \text{Prob}(X \ge x) $ のときは上側を選択してください。次に、0より大きく1より小さい範囲で確率を入力し（例えば95パーセント点なら0.95）、位置母数x0と尺度母数$\gamma$（正の値であること）を入力します。すると対応するxが表示されます。

計算式の解説

コーシー分布の累積分布関数は $$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\cdot\arctan\!\left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)$$ です。これを逆に解くと、分位点関数 $$x = x_0 + \gamma\cdot\tan\!\left(\pi\cdot\left(P - \tfrac{1}{2}\right)\right)$$ が得られます（Pは下側累積確率）。上側確率Qを入力した場合は、まず $ P = 1 - Q $ に変換します。$ P = 0.5 $ のとき結果はちょうどx0となり、Pが0または1に近づくにつれて結果はマイナス無限大・プラス無限大へ発散します。これはコーシー分布の有名な「すそが重い（裾が厚い）」性質を反映したもので、この分布には有限の平均も分散も存在しません。

縦軸の確率 P を横軸の分位点 x に対応づける S 字型の累積分布曲線 — パーセンタイルは CDF を逆にたどります。確率 P を選び、対応する x を読み取ります。

左の裾の下に塗りつぶされた領域と、分位点 x の位置に垂直線があるコーシー確率密度曲線 — 分位点 x は、累積確率（網掛け部分）が P に達する点です。

計算例

x0 = 0、$\gamma$ = 1 で下側95パーセント点を求める場合：P = 0.95 なので、$$x = 0 + 1\cdot\tan(\pi\cdot 0.45) = \tan(1.41372\ \text{rad}) \approx \mathbf{6.31375}$$ 検算すると $ F(6.31375) = 0.5 + \frac{1}{\pi}\cdot\arctan(6.31375) = 0.5 + 0.45 = 0.95 $ となります。x0 = 2、$\gamma$ = 3、P = 0.75 の場合：$$x = 2 + 3\cdot\tan(\pi\cdot 0.25) = 2 + 3\cdot 1 = 5.0$$ です。