ラプラス分布（パーセント点）の計算 - 累積確率から分位点を求める

計算を入力してください

結果

パーセント点・分位点 x

a・b と同じ単位

分布	ラプラス分布（両側指数分布）
結果の解釈	Quantile x such that Pr(X <= x) = 0.5

ラプラス分布（パーセント点）計算ツールとは？

このツールは、ラプラス分布（両側指数分布とも呼ばれます）のパーセント点、すなわち分位点を求めるものです。累積確率を入力すると、その確率に達する位置となる値xを返します。国や地域に固有の前提を一切含まない、世界共通で利用できる純粋な数学ツールです。

ラプラス分布は、位置パラメータ $a$（平均かつ中央値）と尺度パラメータ $b$（$b > 0$）で定義されます。確率密度関数は $$f(x) = \frac{1}{2b}\cdot\exp\!\left(-\frac{|x-a|}{b}\right)$$ で表され、$a$ に鋭いピークを持ち、左右対称な指数関数の裾を描きます。分散は $2b^2$ となります。

Laplace distribution PDF curve with a shaded left tail area P up to a quantile x — The percentile x is the point where the cumulative area (probability P) under the Laplace density reaches the chosen level.

使い方

位置パラメータ $a$ と、尺度パラメータ $b$（正の値である必要があります）を入力します。次に、入力する確率が下側累積確率 $P = \Pr(X \le x)$ なのか、上側累積確率 $Q = \Pr(X > x)$ なのかを選び、その確率を 0 より大きく 1 より小さい範囲で入力してください。計算ツールが分位点 $x$ を返します。

計算式の解説

ラプラス分布の累積分布関数（CDF）は、$x < a$ のとき $P(x) = 0.5\cdot\exp\!\left(\frac{x-a}{b}\right)$、$x \ge a$ のとき $P(x) = 1 - 0.5\cdot\exp\!\left(-\frac{x-a}{b}\right)$ です。これを逆算すると分位点関数が得られます。 $$x = \begin{cases} a + b \ln\!\left(2P\right), & P \le 0.5 \\[1em] a - b \ln\!\left(2(1-P)\right), & P > 0.5 \end{cases}$$ 上側確率 $Q$ を入力した場合は、まず $P = 1 - Q$ とおいてから同じ逆算を適用します。なお、中央値は位置パラメータと一致するため、$P = 0.5$ のときは常に $x = a$ が返されます。

Laplace CDF S-shaped curve mapping probability P on the vertical axis to quantile x on the horizontal axis — Finding a percentile means inverting the Laplace CDF: pick P on the vertical axis and read across to the quantile x.

計算例

$a = 0$、$b = 1$、下側確率 $P = 0.75$ とします。$P > 0.5$ なので、$$x = 0 - 1\cdot\ln(2\cdot 0.25) = -\ln(0.5) = \ln(2) \approx 0.6931471806$$ となります。つまり、確率の 75% は $x \approx 0.693$ 以下に分布していることになります。