Qu'est-ce que le calculateur de percentile de la loi de Laplace ?
Cet outil calcule le percentile, ou quantile, d'une loi de Laplace (également appelée loi double exponentielle). À partir d'une probabilité cumulée, il renvoie la valeur x à laquelle cette probabilité est atteinte. C'est un outil mathématique universel : il fonctionne de façon identique partout, sans hypothèse propre à un pays.
La loi de Laplace possède un paramètre de position \(a\) (sa moyenne et sa médiane) et un paramètre d'échelle \(b\) (\(b > 0\)). Sa densité de probabilité s'écrit $$f(x) = \frac{1}{2b}\cdot\exp\!\left(-\frac{|x-a|}{b}\right),$$ ce qui produit un pic marqué en \(a\) et des queues exponentielles symétriques. Sa variance vaut \(2b^2\).
Comment l'utiliser
Saisissez le paramètre de position \(a\), le paramètre d'échelle \(b\) (qui doit être positif), indiquez si votre probabilité est une probabilité cumulée inférieure \(P = \Pr(X \le x)\) ou une probabilité cumulée supérieure \(Q = \Pr(X > x)\), puis entrez cette probabilité, strictement comprise entre 0 et 1. Le calculateur renvoie le quantile \(x\).
La formule expliquée
La fonction de répartition de Laplace est \(P(x) = 0{,}5\cdot\exp\!\left(\frac{x-a}{b}\right)\) pour \(x < a\), et \(P(x) = 1 - 0{,}5\cdot\exp\!\left(-\frac{x-a}{b}\right)\) pour \(x \ge a\). En l'inversant, on obtient la fonction quantile : si \(P \le 0{,}5\), alors \(x = a + b\cdot\ln(2P)\) ; si \(P > 0{,}5\), alors \(x = a - b\cdot\ln(2(1-P))\). $$x = \begin{cases} a + b \ln\!\left(2P\right), & P \le 0.5 \\[1em] a - b \ln\!\left(2(1-P)\right), & P > 0.5 \end{cases}$$ Lorsque vous fournissez une probabilité supérieure \(Q\), l'outil pose d'abord \(P = 1 - Q\), puis applique la même inversion. À noter : \(P = 0{,}5\) renvoie toujours \(x = a\), puisque la médiane est égale au paramètre de position.
Exemple détaillé
Prenons \(a = 0\), \(b = 1\) et une probabilité inférieure \(P = 0{,}75\). Comme \(P > 0{,}5\), on a $$x = 0 - 1\cdot\ln(2\cdot 0{,}25) = -\ln(0{,}5) = \ln(2) \approx 0{,}6931471806.$$ Ainsi, 75 % de la masse de probabilité se situe à \(x \approx 0{,}693\) ou en dessous.
FAQ
Pourquoi faut-il que \(0 < p < 1\) ? Lorsque \(p\) tend vers 0, le quantile diverge vers moins l'infini, et lorsque \(p\) tend vers 1, il diverge vers plus l'infini. Seules les probabilités strictement intérieures donnent donc un résultat fini.
Et si je dispose d'une probabilité de queue supérieure ? Choisissez « Probabilité cumulée supérieure \(Q\) » ; l'outil la convertit automatiquement via \(P = 1 - Q\).
Pourquoi l'échelle doit-elle être positive ? Le paramètre d'échelle \(b\) contrôle la dispersion et intervient dans une division lors de la standardisation ; une valeur \(b \le 0\) serait dégénérée et est donc rejetée.
