Qu'est-ce que la moyenne géométrique ?
La moyenne géométrique est un type de moyenne qui consiste à multiplier entre eux tous les nombres d'une série, puis à extraire la racine n-ième du produit obtenu, où n correspond au nombre de valeurs. Contrairement à la moyenne arithmétique, plus familière, qui repose sur l'addition, la moyenne géométrique s'appuie sur la multiplication. C'est donc la moyenne la mieux adaptée aux grandeurs qui évoluent selon des ratios ou des pourcentages : rendements financiers, taux de croissance, rapports et indices.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos nombres dans le champ prévu à cet effet, en les séparant par des virgules ou des espaces (par exemple 2, 8, 32). Toutes les valeurs doivent être positives : la moyenne géométrique n'est pas définie dès qu'un nombre est nul ou négatif. Lancez le calcul et l'outil vous renvoie la moyenne géométrique ainsi que le nombre de valeurs prises en compte.
La formule expliquée
La moyenne géométrique se définit ainsi :
$$\text{MG} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$
Pour garantir une stabilité numérique même avec de longues listes, ce calculateur utilise la forme logarithmique : il additionne les logarithmes naturels de chaque valeur, divise le résultat par \(n\), puis applique l'exponentielle. Les deux approches sont mathématiquement équivalentes.
Exemple concret
Imaginons les nombres 2, 8 et 32. Leur produit vaut $$2 \times 8 \times 32 = 512.$$ Comme il y a 3 nombres, on extrait la racine cubique : $$512^{\frac{1}{3}} = 8.$$ La moyenne géométrique est donc 8 — on remarque qu'elle se situe « au milieu » d'un point de vue multiplicatif (\(2 \times 4 = 8\), puis \(8 \times 4 = 32\)).
Questions fréquentes
Quand faut-il préférer la moyenne géométrique à la moyenne arithmétique ? Utilisez-la pour les taux de rendement, les variations en pourcentage et les ratios qui se cumulent dans le temps, c'est-à-dire chaque fois que la multiplication compte davantage que l'addition.
Puis-je inclure des zéros ou des nombres négatifs ? Non. Le produit deviendrait nul ou la racine ne serait pas définie : la moyenne géométrique ne s'applique qu'aux valeurs positives.
La moyenne géométrique est-elle toujours inférieure à la moyenne arithmétique ? Oui. Pour toute série de nombres positifs qui ne sont pas tous égaux, la moyenne géométrique est strictement inférieure à la moyenne arithmétique (c'est l'inégalité arithmético-géométrique, ou inégalité AM–GM).
