Что такое среднее геометрическое?
Среднее геометрическое — это вид среднего значения, при котором все числа набора перемножают между собой, а затем извлекают корень n-й степени из полученного произведения, где n — количество чисел. В отличие от привычного среднего арифметического, в котором значения складывают, среднее геометрическое строится на умножении. Именно поэтому оно лучше всего подходит для величин, которые растут или убывают в разах либо процентах: доходности инвестиций, темпов роста, соотношений и индексов.
Как пользоваться калькулятором
Введите числа в поле, разделяя их запятыми или пробелами (например, 2, 8, 32). Все значения должны быть положительными — для нуля или отрицательных чисел среднее геометрическое не определено. Нажмите «Рассчитать», и калькулятор покажет среднее геометрическое вместе с количеством использованных значений.
Разбор формулы
Среднее геометрическое задаётся формулой:
$$\text{GM} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$
Чтобы сохранять численную устойчивость на больших списках, калькулятор использует логарифмическую форму: складывает натуральные логарифмы всех значений, делит сумму на \(n\), а затем возводит результат в экспоненту. Обе формы математически тождественны.
Разбор на примере
Допустим, у вас есть числа 2, 8 и 32. Их произведение равно \(2 \times 8 \times 32 = 512\). Поскольку чисел три, извлекаем кубический корень: \(512^{1/3} = 8\). Значит, среднее геометрическое равно 8 — обратите внимание, что в смысле умножения оно оказывается ровно «посередине» (\(2 \times 4 = 8\), \(8 \times 4 = 32\)).
Частые вопросы
Когда стоит использовать среднее геометрическое вместо арифметического? Применяйте его для доходностей, процентных изменений и соотношений, которые накапливаются со временем, когда умножение важнее сложения.
Можно ли включать ноль или отрицательные числа? Нет. Произведение обнулится, а корень станет неопределённым, поэтому среднее геометрическое работает только с положительными значениями.
Всегда ли среднее геометрическое меньше арифметического? Да — для любого набора положительных чисел, которые не равны между собой, среднее геометрическое строго меньше среднего арифметического (неравенство о средних, AM–GM).
