Что такое среднее гармоническое?
Среднее гармоническое — это особый вид среднего, который лучше всего подходит для работы со скоростями, темпами и соотношениями. В отличие от среднего арифметического, где значения просто складываются, среднее гармоническое оперирует обратными величинами. Из трёх пифагоровых средних оно всегда наименьшее (гармоническое ≤ геометрическое ≤ арифметическое) и сильнее всего реагирует на самые маленькие числа в наборе.
Как пользоваться калькулятором
Введите числа через запятую или пробел — например, 2, 4, 8. Калькулятор подсчитает количество значений, сложит их обратные величины и разделит количество на эту сумму. Нули автоматически отбрасываются: деление на ноль не определено, поэтому среднее гармоническое имеет смысл только для ненулевых чисел.
Разбор формулы
Среднее гармоническое для n значений вычисляется так:
$$\text{HM} = \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$$
Сначала берём обратную величину каждого значения, затем складываем все обратные величины и делим количество чисел на полученную сумму. Благодаря такому взвешиванию меньшие значения «тянут» результат сильнее — именно поэтому среднее гармоническое идеально подходит для усреднения скоростей, мультипликаторов P/E или показателей на единицу.
Пример с решением
Для значений 2, 4 и 8 имеем n = 3 числа. Обратные величины: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 0{,}875\). Тогда среднее гармоническое равно $$\frac{3}{0{,}875} \approx 3{,}4286$$ Для сравнения: среднее арифметическое составит 4,667 — как и ожидалось, среднее гармоническое оказывается меньше.
Частые вопросы
Когда стоит использовать среднее гармоническое? Его применяют для усреднения темпов и соотношений: например, для расчёта средней скорости на равных по длине отрезках пути или для усреднения мультипликаторов вроде «цена/прибыль» (P/E).
Почему значения не могут быть нулевыми? В формуле нужно делить 1 на каждое значение. Ноль означал бы деление на ноль, что не определено, поэтому такие значения просто пропускаются.
Чем оно отличается от среднего арифметического? Среднее арифметическое складывает сами значения, а среднее гармоническое — их обратные величины. Для положительных чисел среднее гармоническое всегда меньше или равно среднему арифметическому.
