ما هو المتوسط التوافقي؟
المتوسط التوافقي (الهارموني) نوع من المتوسطات يناسب بشكل خاص حساب المعدّلات والنِّسَب. وعلى عكس المتوسط الحسابي الذي يجمع القيم مباشرة، يعتمد المتوسط التوافقي على مقلوبات القيم (أي 1 مقسومًا على كل قيمة). وهو دائمًا أصغر المتوسطات الفيثاغورية الثلاثة (توافقي ≤ هندسي ≤ حسابي)، كما يتأثر بشدة بأصغر الأرقام الموجودة في مجموعة البيانات.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أرقامك مفصولة بفواصل أو مسافات — على سبيل المثال 2، 4، 8. تقوم الحاسبة بعدّ القيم، ثم تجمع مقلوباتها، ثم تقسم عدد القيم على هذا المجموع. ويتم تجاهل أي قيمة تساوي صفرًا لأن القسمة على صفر غير معرّفة؛ فالمتوسط التوافقي معرّف فقط للأرقام غير الصفرية.
شرح المعادلة
المتوسط التوافقي لعدد n من القيم يُحسب كالتالي:
$$\text{HM} = \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$$
أولًا نأخذ مقلوب كل قيمة، ثم نجمع هذه المقلوبات معًا، وبعد ذلك نقسم عدد القيم على هذا المجموع. ويمنح هذا الترجيح القيمَ الأصغر تأثيرًا أكبر، وهو ما يجعل المتوسط التوافقي الخيار الصحيح لحساب متوسط السرعات، أو نِسَب السعر إلى الأرباح (P/E)، أو المعدّلات لكل وحدة.
مثال محلول
للقيم 2 و4 و8 يكون لدينا \(n = 3\) أرقام. والمقلوبات هي $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 0.875.$$ وبالتالي يكون المتوسط التوافقي $$3 \div 0.875 \approx 3.4286.$$ قارن هذا بالمتوسط الحسابي الذي يساوي 4.667 — فالمتوسط التوافقي أقل منه، تمامًا كما هو متوقع.
الأسئلة الشائعة
متى ينبغي استخدام المتوسط التوافقي؟ استخدمه لحساب متوسط المعدّلات والنِّسَب، مثل متوسط السرعة على مسافات متساوية، أو حساب متوسط المضاعفات مثل نسبة السعر إلى الأرباح.
لماذا يجب أن تكون القيم غير صفرية؟ لأن المعادلة تتطلب قسمة 1 على كل قيمة. وأي قيمة صفرية تستلزم القسمة على صفر، وهي عملية غير معرّفة، لذلك يتم تخطّي الأصفار.
كيف يختلف عن المتوسط الحسابي؟ المتوسط الحسابي يجمع القيم نفسها، بينما يجمع المتوسط التوافقي مقلوباتها. والمتوسط التوافقي يكون دائمًا أقل من أو يساوي المتوسط الحسابي بالنسبة للأرقام الموجبة.
