ما هو المتوسط المرجح؟
المتوسط المرجح (أو الوسط الموزون) هو نوع من المتوسطات تساهم فيه بعض القيم في النتيجة النهائية أكثر من غيرها. فبدلاً من معاملة كل قيمة على قدم المساواة كما يفعل المتوسط الحسابي البسيط، تُضرب كل قيمة في وزن يعكس أهميتها النسبية. هذه الحاسبة عامة وتصلح لأي مجال — الدرجات الدراسية، والتمويل، والاستبيانات، والفيزياء، وغيرها الكثير.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل القيم على هيئة قائمة مفصولة بفواصل (مثلاً 80, 90, 70)، ثم أدخل الأوزان المقابلة لها بالترتيب نفسه (مثلاً 2, 3, 1). تقترن القيمة الأولى بالوزن الأول، والقيمة الثانية بالوزن الثاني، وهكذا. تقوم الحاسبة بضرب كل قيمة في وزنها، ثم تجمع حواصل الضرب، وتقسم المجموع على إجمالي الأوزان.
شرح المعادلة
يُعرَّف المتوسط المرجح كالتالي:
$$\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$$
حيث يمثّل \(x_i\) كل قيمة، و\(w_i\) وزنها، و\(\sum (w_i x_i)\) هو مجموع حواصل ضرب كل وزن في قيمته، و\(\sum w_i\) هو مجموع جميع الأوزان. وعندما تتساوى جميع الأوزان، يتحول المتوسط المرجح إلى المتوسط الحسابي العادي.
مثال محلول
لنفترض أن طالباً حصل على الدرجات 80 و90 و70 في ثلاثة اختبارات تساوي 2 و3 و1 ساعة معتمدة على الترتيب. تكون حواصل الضرب المرجحة هي \(80 \times 2 = 160\)، و\(90 \times 3 = 270\)، و\(70 \times 1 = 70\)، ومجموعها 500. أما إجمالي الأوزان فهو \(2 + 3 + 1 = 6\). وبذلك يكون المتوسط المرجح \(500 \div 6 \approx 83.33\) — وهو أعلى من المتوسط البسيط للدرجات، لأن أعلى درجة حملت أكبر وزن.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو اختلف عدد القيم عن عدد الأوزان؟ تقترن الحاسبة بينهما بالترتيب وتستخدم عدد الأزواج الذي تسمح به القائمة الأقصر فقط، متجاهلةً ما يزيد عن ذلك.
هل يمكن أن تكون الأوزان أعداداً عشرية أو نسباً مئوية؟ نعم. يمكن أن تكون الأوزان أي أعداد موجبة — كسوراً أو نسباً مئوية أو أعداداً صحيحة. فالمهم هو أحجامها النسبية فقط.
كيف يختلف هذا عن المتوسط البسيط؟ يعطي المتوسط البسيط كل قيمة الوزن نفسه، بينما يتيح لك المتوسط المرجح إبراز القيم الأكثر أهمية، ولهذا فهو يساوي المتوسط البسيط فقط عندما تكون جميع الأوزان متطابقة.
