ما هو المتوسط الهندسي؟
المتوسط الهندسي نوع من المعدلات يقوم على ضرب جميع الأرقام في المجموعة ببعضها، ثم استخراج الجذر النوني لحاصل الضرب، حيث يمثّل \(n\) عدد الأرقام. وعلى خلاف المتوسط الحسابي المألوف الذي يعتمد على الجمع، يُبنى المتوسط الهندسي على الضرب. وهذا ما يجعله المعدّل الأنسب للأشياء التي تنمو أو تتقلّص بنسب أو نسب مئوية — مثل عوائد الاستثمار، ومعدلات النمو، والنِّسَب، والأرقام القياسية.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
اكتب أرقامك داخل المربع مفصولة بفواصل أو مسافات (مثلاً 2, 8, 32). يجب أن تكون جميع القيم موجبة — فالمتوسط الهندسي غير معرَّف إذا كان أي رقم صفرًا أو سالبًا. اضغط على زر الحساب لتُظهر لك الأداة المتوسط الهندسي إلى جانب عدد القيم المستخدمة.
شرح الصيغة الرياضية
يُعرَّف المتوسط الهندسي على النحو التالي:
$$\text{GM} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$وللحفاظ على الاستقرار العددي عند التعامل مع قوائم كبيرة، تستخدم هذه الحاسبة الصيغة اللوغاريتمية: إذ تجمع اللوغاريتمات الطبيعية لكل قيمة، ثم تقسم على \(n\)، ثم تطبّق الدالة الأسية. والصيغتان متطابقتان تمامًا من الناحية الرياضية.
مثال تطبيقي
لنفترض أن لديك الأرقام 2 و8 و32. حاصل ضربها هو \(2 \times 8 \times 32 = 512\). وبما أن لدينا 3 أرقام، نأخذ الجذر التكعيبي: \(512^{1/3} = 8\). إذًا المتوسط الهندسي هو 8 — ولاحظ أنه يقع في "المنتصف" من حيث الضرب (\(2 \times 4 = 8\)، و\(8 \times 4 = 32\)).
الأسئلة الشائعة
متى أستخدم المتوسط الهندسي بدلًا من المتوسط الحسابي؟ استخدمه مع معدلات العوائد، والتغيرات بالنسبة المئوية، والنِّسَب التي تتراكم بمرور الوقت، حيث يكون الضرب أهم من الجمع.
هل يمكنني إدخال الصفر أو الأرقام السالبة؟ لا. لأن حاصل الضرب سيصبح صفرًا أو يصبح الجذر غير معرَّف، فإن المتوسط الهندسي ينطبق فقط على القيم الموجبة.
هل المتوسط الهندسي دائمًا أصغر من المتوسط الحسابي؟ نعم — فلأي مجموعة من الأرقام الموجبة غير المتساوية جميعها، يكون المتوسط الهندسي أصغر تمامًا من المتوسط الحسابي (متباينة المتوسطين الحسابي والهندسي).
