什么是几何平均数？
几何平均数是一种特殊的平均值：它先把一组数全部相乘，再对乘积开 n 次方，其中 n 是这组数的个数。与我们熟悉的算术平均数（把数值相加再除以个数）不同，几何平均数建立在"相乘"的基础上。正因如此，它特别适合衡量那些按比例或百分比增减的对象——比如投资收益率、增长率、各种比率和指数。
如何使用本计算器
在输入框中填入你的数值，用逗号或空格分隔（例如 2, 8, 32）。所有数值都必须为正数——只要其中有一个为零或负数，几何平均数就无法定义。点击计算，工具就会返回几何平均数以及参与计算的数值个数。
公式详解
几何平均数的定义为：
$$\text{GM} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$
为了在处理大量数据时保持数值稳定，本计算器采用对数形式：先把每个数值的自然对数相加，再除以 \(n\)，最后取指数。这两种形式在数学上完全等价。
实例演示
假设你有 2、8 和 32 三个数。它们的乘积是 \(2 \times 8 \times 32 = 512\)。因为共有 3 个数，所以取立方根：\(512^{1/3} = 8\)。于是几何平均数就是 8——可以看到，它从"乘法"的角度恰好位于中间（\(2 \times 4 = 8\)，\(8 \times 4 = 32\)）。
常见问题
什么时候该用几何平均数而不是算术平均数？当处理收益率、百分比变化以及随时间复利累积的比率时，应使用几何平均数，因为这些场景里"相乘"比"相加"更有意义。
可以输入零或负数吗？不可以。因为乘积会变成零，或者方根无法定义，所以几何平均数只适用于正数。
几何平均数一定比算术平均数小吗？是的——对于任何一组不完全相等的正数，几何平均数都严格小于算术平均数（这就是均值不等式 AM–GM）。
