什麼是幾何平均數？
幾何平均數是一種特殊的平均概念：先將一組數字全部相乘，再取乘積的 n 次方根，其中 n 代表數字的個數。它和我們熟悉的「算術平均數」不同——算術平均數靠的是加總，幾何平均數則建立在連乘之上。正因如此，當資料是依比率或百分比成長或縮減時，例如投資報酬率、成長率、各種比值與指數，幾何平均數才是最合適的平均方式。
如何使用這個計算機
在輸入框中填入你的數字，並以逗號或空格分隔（例如 2, 8, 32）。所有數值都必須為正數——只要有任何一個數字為零或負數，幾何平均數就沒有定義。按下計算後，工具會回傳幾何平均數，並顯示所使用的數值個數。
公式說明
幾何平均數的定義如下：
$$\text{GM} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$
為了在處理大量數字時維持數值穩定，本計算機採用對數形式運算：先將每個數值取自然對數後相加，除以 \(n\)，再取指數還原。這兩種寫法在數學上完全等價。
實際範例
假設你手上有 2、8、32 這三個數字。它們的乘積為 \(2 \times 8 \times 32 = 512\)。由於共有 3 個數字，因此取立方根：\(512^{1/3} = 8\)。所以幾何平均數就是 8——你會發現它正好落在「連乘的中間」（\(2 \times 4 = 8\)，\(8 \times 4 = 32\)）。
常見問題
什麼時候該用幾何平均數，而不是算術平均數？當你處理的是報酬率、百分比變化，或會隨時間複利累積的比值時，乘法比加法更有意義，這時就該用幾何平均數。
可以放入零或負數嗎？不行。因為乘積會變成零，或方根無法定義，所以幾何平均數只適用於正數。
幾何平均數一定小於算術平均數嗎？是的——只要一組正數不是全部相等，幾何平均數就會嚴格小於算術平均數，這就是著名的「算術—幾何平均不等式（AM–GM 不等式）」。
