什麼是 F 分配計算器？
這個工具會針對指定的分位點 \(x\) 與兩個自由度參數——分子自由度 \(v_1\) 與分母自由度 \(v_2\)，計算 F 分配（又稱 Fisher-Snedecor 分配）的相關數值。計算結果包含機率密度 \(f(x)\)、下尾累積機率 \(P(X \le x)\)，以及上尾（尾部）機率 \(P(X > x)\)。F 分配是統計學中最常用的分配之一，其數學定義放諸四海皆準，不受任何國家或地區的特殊假設影響。
使用方式
請輸入分位點 \(x\)（須大於或等於 0）、分子自由度 \(v_1\)（須大於 0），以及分母自由度 \(v_2\)（須大於 0）。兩個自由度都可以是非整數。計算器會回傳密度值與兩個累積機率，且下尾與上尾機率永遠滿足「下尾 + 上尾 = 1」的關係。
公式說明
密度函數為
$$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(v_1\,x)^{v_1}\,v_2^{\,v_2}}{(v_1\,x + v_2)^{v_1+v_2}}}}{x \cdot B\!\left(\dfrac{v_1}{2},\dfrac{v_2}{2}\right)}$$其中 \(B\) 為 Beta 函數，\(d_1 = v_1\)、\(d_2 = v_2\)。累積分配則使用正規化不完全 Beta 函數計算：
$$P(X \le x) = I_{z}\!\left(\dfrac{v_1}{2},\,\dfrac{v_2}{2}\right),\qquad z = \dfrac{v_1\,x}{v_1\,x + v_2}$$在實際運算上，我們以 Lanczos 近似法計算 log-Gamma，並以連分數展開（Lentz 演算法）計算不完全 Beta 函數。
實例演算
以 \(x = 1\)、\(v_1 = 2\)、\(v_2 = 1\) 為例：\(B(1, 0.5) = 2\)，因此
$$f(1) = \frac{2^1 \cdot 1^0 \cdot 3^{-1.5}}{2} = 3^{-1.5} \approx 0.19245$$至於累積分配，\(z = 2/3\)，\(I_{2/3}(1, 0.5) = 1 - (1/3)^{0.5} \approx 0.42265\)，所以 \(P(X > 1) \approx 0.57735\)。
常見問題
自由度可以是小數嗎？可以。F 分配對任何正實數自由度都有明確定義。
當 \(x = 0\) 時會怎樣？此時下尾機率為 0，上尾機率為 1。至於密度值：當 \(v_1 < 2\) 時為正無限大，當 \(v_1 = 2\) 時等於 1，當 \(v_1 > 2\) 時則為 0。
上尾累積機率有什麼用途？它就是 F 檢定的 p 值，代表在虛無假設成立的前提下，F 統計量達到或超過 \(x\) 的機率。
