什麼是馮·米塞斯分布？
馮·米塞斯分布（von Mises distribution）是常態（高斯）分布在圓周上的對應版本，專門用來描述圓上的角度或方向。它由兩個參數決定：平均方向 \(\mu\) 與集中度參數 \(\kappa\)。當 \(\kappa\) 很大時，分布會緊密地集中在 \(\mu\) 附近；而當 \(\kappa = 0\) 時，分布就退化成圓周上的均勻分布。這個計算器是通用的數學工具，適用於任何地區，全程以弧度（radian）為單位。
如何使用本計算器
先選擇你想求的量：機率密度 \(f\)、下累積機率 \(P\)（即累積分布函數 CDF），或上累積機率 \(Q = 1 - P\)。接著輸入平均方向 \(\mu\)（弧度）、集中度 \(\kappa \ge 0\)，以及要計算的角度 \(x\)（弧度）。按下計算後，三個數值會一併顯示，並將你所選的項目特別標示出來。
公式解析
機率密度函數為 $$f(x; \mu, \kappa) = \frac{e^{\kappa\cos\left(x - \mu\right)}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}$$ 其中 \(I_0(\kappa)\) 是零階第一類修正貝索函數（modified Bessel function），可由收斂級數 $$I_0(\kappa) = \sum \frac{(\kappa/2)^{2m}}{(m!)^2}$$ 計算而得。累積機率 \(P(x)\) 是 \(f\) 從 \(\mu-\pi\) 積分到 \(x\) 的結果；本計算器會先將 \(z = x - \mu\) 折繞（wrap）到 \([-\pi, \pi]\) 區間，再以辛普森法（Simpson's rule）分成 2000 個子區間進行積分，因此 \(P\) 從 \(z = -\pi\) 時的 0 變化到 \(z = +\pi\) 時的 1。\(Q\) 則直接由 \(1 - P\) 求得。
實際範例
令 \(\mu = 0\)、\(\kappa = 1\)、\(x = 0\)。此時 \(I_0(1) \approx 1.2660658778\)，且 \(\cos(0) = 1\)，所以 \(e^1 = 2.71828\)。機率密度為 $$f = \frac{2.71828}{2\pi \cdot 1.26607} \approx 0.3417$$（每弧度）。由於 \(f\) 對 \(\mu = 0\) 呈對稱，恰好有一半的機率質量落在 \(x = 0\) 以下，因此 \(P(0) = 0.5\)、\(Q(0) = 0.5\)。
常見問題
機率密度的單位是什麼？機率密度函數（PDF）的單位是 1/弧度，因為它在 \(2\pi\) 弧度的整個圓周上積分後等於 1。
當 \(\kappa = 0\) 時會怎樣？分布會變成圓周上的均勻分布：對所有 \(x\) 而言 \(f(x) = 1/(2\pi) \approx 0.159155\)，而 \(P(x)\) 則呈線性遞增。
可以輸入 \([\mu-\pi, \mu+\pi]\) 範圍以外的 \(x\) 嗎？可以。機率密度對 \(x\) 具有 \(2\pi\) 的週期性，計算 CDF 時也會先把 \(z = x - \mu\) 折繞到 \([-\pi, \pi]\) 區間再進行積分。
