Von Mises dağılımı nedir?
Von Mises dağılımı, normal (Gauss) dağılımının daire üzerindeki karşılığıdır. Bir çember üzerindeki açıları veya yönleri modeller ve iki parametreyle tanımlanır: ortalama yön \(\mu\) ve yoğunluk parametresi \(\kappa\). \(\kappa\) büyük olduğunda dağılım \(\mu\) etrafında dar ve sivri bir tepe oluşturur; \(\kappa = 0\) olduğunda ise daire üzerinde düzgün (üniform) dağılıma dönüşür. Bu hesaplayıcı evrensel bir matematik aracıdır — herhangi bir ülkeye veya kurala bağlı değildir ve baştan sona radyan kullanır.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Önce neyi istediğinizi seçin: olasılık yoğunluğu \(f\), alt birikimli olasılık \(P\) (yani CDF) ya da üst birikimli olasılık \(Q = 1 - P\). Ardından ortalama yön \(\mu\) (radyan), \(\kappa \geq 0\) yoğunluğu ve değerlendirme yapmak istediğiniz \(x\) açısını (radyan) girin. Hesapla düğmesine bastığınızda üç değer de görünür ve seçtiğiniz değer vurgulanmış olarak öne çıkar.
Formülün açıklaması
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
$$f(\text{x}; \mu, \kappa) = \frac{e^{\kappa\cos\left(\text{x} - \mu\right)}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}$$şeklindedir; burada \(I_{0}(\kappa)\), 0. mertebeden birinci tür değiştirilmiş Bessel fonksiyonudur ve yakınsak seri
$$I_{0}(\kappa) = \sum \frac{(\kappa/2)^{2m}}{(m!)^{2}}$$ile hesaplanır. Birikimli olasılık \(P(\text{x})\), \(f\) fonksiyonunun \(\mu-\pi\)'den \(\text{x}\)'e kadar olan integralidir; burada \(z = \text{x} - \mu\) değeri \([-\pi, \pi]\) aralığına sarıldıktan sonra 2000 alt aralık üzerinde Simpson kuralıyla elde edilir. Böylece \(P\), \(z = -\pi\)'de 0 ile \(z = +\pi\)'de 1 arasında değişir. \(Q\) ise basitçe \(1 - P\)'dir.
Çözümlü örnek
\(\mu = 0\), \(\kappa = 1\) ve \(\text{x} = 0\) alalım. O zaman \(I_{0}(1) \approx 1{,}2660658778\) ve \(\cos(0) = 1\) olur, dolayısıyla \(e^{1} = 2{,}71828\)'dir. Yoğunluk $$f = \frac{2{,}71828}{2\pi \cdot 1{,}26607} \approx 0{,}3417$$ radyan başına çıkar. \(f\) fonksiyonu \(\mu = 0\) etrafında simetrik olduğundan kütlenin tam yarısı \(\text{x} = 0\)'ın altında kalır; bu da \(P(0) = 0{,}5\) ve \(Q(0) = 0{,}5\) demektir.
Sıkça sorulan sorular
Yoğunluğun birimi nedir? Olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF), \(2\pi\) radyanlık bir çember üzerinde integrali 1 verdiği için 1/radyan birimindedir.
\(\kappa = 0\) olduğunda ne olur? Dağılım daire üzerinde düzgün hale gelir: her \(\text{x}\) için \(f(\text{x}) = 1/(2\pi) \approx 0{,}159155\) olur ve \(P(\text{x})\) doğrusal olarak artar.
\(\text{x}\) değerini \([\mu-\pi, \mu+\pi]\) aralığının dışında girebilir miyim? Evet. Yoğunluk \(\text{x}\) değişkeninde \(2\pi\) periyotludur ve CDF, integral almadan önce \(z = \text{x} - \mu\) değerini \([-\pi, \pi]\) aralığına sarar.
