वॉन माइसेस वितरण क्या है?
वॉन माइसेस वितरण को सामान्य (गाउसी) वितरण का वृत्तीय रूप कहा जा सकता है। यह किसी वृत्त पर कोणों या दिशाओं का मॉडल बनाता है और इसे दो मानों से परिभाषित किया जाता है — माध्य दिशा \(\mu\) और सघनता पैरामीटर \(\kappa\)। जब \(\kappa\) बड़ा होता है, तो वितरण \(\mu\) के आसपास तीव्र रूप से केंद्रित रहता है; और जब \(\kappa = 0\) होता है, तो यह वृत्त पर एकसमान (uniform) वितरण बन जाता है। यह कैलकुलेटर एक सार्वभौमिक गणितीय उपकरण है — यह हर जगह लागू होता है और पूरी गणना में रेडियन का उपयोग करता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले तय करें कि आपको क्या चाहिए: प्रायिकता घनत्व \(f\), निम्न संचयी प्रायिकता \(P\) (यानी CDF), या उच्च संचयी प्रायिकता \(Q = 1 - P\)। फिर माध्य दिशा \(\mu\) (रेडियन में), सघनता \(\kappa \ge 0\), और वह कोण \(x\) (रेडियन में) दर्ज करें जिस पर आप मान निकालना चाहते हैं। "गणना करें" दबाते ही आपको तीनों मान दिखेंगे, जिनमें आपका चुना हुआ मान विशेष रूप से उजागर रहेगा।
सूत्र की व्याख्या
प्रायिकता घनत्व फलन इस प्रकार है:
$$f(\text{x}; \mu, \kappa) = \frac{e^{\kappa\cos\left(\text{x} - \mu\right)}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}$$जहाँ \(I_0(\kappa)\) प्रथम प्रकार का शून्य कोटि का संशोधित बेसेल फलन (modified Bessel function) है, जिसकी गणना अभिसारी श्रेणी \(I_0(\kappa) = \sum \frac{(\kappa/2)^{2m}}{(m!)^2}\) से की जाती है। संचयी प्रायिकता \(P(x)\), \(f\) का \(\mu-\pi\) से \(x\) तक का समाकलन है; यहाँ इसे \(z = x - \mu\) को \([-\pi, \pi]\) में लपेटने के बाद 2000 उपअंतरालों पर सिम्पसन नियम (Simpson's rule) से निकाला जाता है, इसलिए \(P\) का मान \(z = -\pi\) पर 0 से लेकर \(z = +\pi\) पर 1 तक रहता है। \(Q\) बस \(1 - P\) है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(\mu = 0\), \(\kappa = 1\), \(x = 0\)। तब \(I_0(1) \approx 1.2660658778\) और \(\cos(0) = 1\), अतः \(e^1 = 2.71828\)। घनत्व $$f = \frac{2.71828}{2\pi \cdot 1.26607} \approx 0.3417$$ प्रति रेडियन होगा। चूँकि \(f\), \(\mu = 0\) के आसपास सममित है, इसलिए ठीक आधा द्रव्यमान \(x = 0\) के नीचे रहता है, जिससे \(P(0) = 0.5\) और \(Q(0) = 0.5\) प्राप्त होते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
घनत्व की इकाई क्या होती है? PDF की इकाई 1/रेडियन होती है, क्योंकि यह \(2\pi\) रेडियन के पूरे वृत्त पर समाकलित होकर 1 बनता है।
जब \(\kappa = 0\) हो तो क्या होता है? तब वितरण वृत्त पर एकसमान हो जाता है: हर \(x\) के लिए \(f(x) = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159155\), और \(P(x)\) रैखिक रूप से बढ़ता है।
क्या मैं \(x\) को \([\mu-\pi, \mu+\pi]\) के बाहर दर्ज कर सकता हूँ? हाँ। घनत्व \(x\) में \(2\pi\)-आवर्ती (periodic) है, और CDF समाकलन से पहले \(z = x - \mu\) को \([-\pi, \pi]\) में लपेट देता है।
