ما هو توزيع فون ميزس؟
توزيع فون ميزس هو النظير الدائري للتوزيع الطبيعي (الغاوسي). فهو يصف الزوايا أو الاتجاهات على دائرة، ويتحدد بمتوسط اتجاهٍ \(\mu\) ومُعامل تركيزٍ \(\kappa\). فكلما زادت قيمة \(\kappa\) تركّز التوزيع بقمة حادة حول \(\mu\)، وعندما تكون \(\kappa = 0\) يتحول إلى التوزيع المنتظم على الدائرة. هذه الحاسبة أداة رياضية عامة تصلح للاستخدام في أي مكان، وتعتمد على وحدة الراديان في جميع الحسابات.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر ما تريد حسابه: الكثافة الاحتمالية \(f\)، أو الاحتمال التراكمي الأدنى \(P\) (دالة التوزيع التراكمي)، أو الاحتمال التراكمي الأعلى \(Q = 1 - P\). أدخل متوسط الاتجاه \(\mu\) (بالراديان)، ومُعامل التركيز \(\kappa \ge 0\)، والزاوية \(x\) (بالراديان) التي تريد التقييم عندها. اضغط على زر الحساب لتظهر لك القيم الثلاث جميعها، مع تمييز القيمة التي اخترتها.
شرح الصيغة
دالة الكثافة الاحتمالية هي $$f(\text{x}; \mu, \kappa) = \frac{e^{\kappa\cos\left(\text{x} - \mu\right)}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}$$ حيث \(I_{0}(\kappa)\) هي دالة بيسل المعدّلة من النوع الأول والرتبة صفر، وتُحسب من المتسلسلة المتقاربة $$I_{0}(\kappa) = \sum \frac{(\kappa/2)^{2m}}{(m!)^{2}}$$ أما الاحتمال التراكمي \(P(\text{x})\) فهو تكامل الدالة \(f\) من \(\mu-\pi\) حتى \(\text{x}\)، ويُحسب هنا باستخدام قاعدة سيمبسون على 2000 فترة جزئية بعد إرجاع \(z = \text{x} - \mu\) إلى المجال \([-\pi, \pi]\)، بحيث تتراوح \(P\) بين 0 عند \(z = -\pi\) و1 عند \(z = +\pi\). أما \(Q\) فهي ببساطة \(1 - P\).
مثال محلول
لنأخذ \(\mu = 0\)، \(\kappa = 1\)، \(\text{x} = 0\). عندئذٍ \(I_{0}(1) \approx 1.2660658778\) و\(\cos(0) = 1\)، ومن ثم \(e^{1} = 2.71828\). تكون الكثافة $$f = \frac{2.71828}{2\pi \cdot 1.26607} \approx 0.3417$$ لكل راديان. وبسبب تماثل الدالة \(f\) حول \(\mu = 0\)، يقع نصف الكتلة الاحتمالية تماماً تحت \(\text{x} = 0\)، ما يعطي \(P(0) = 0.5\) و\(Q(0) = 0.5\).
الأسئلة الشائعة
ما وحدة الكثافة؟ دالة الكثافة الاحتمالية بوحدة 1/راديان، لأن تكاملها يساوي 1 على دائرة قياسها \(2\pi\) راديان.
ماذا يحدث عندما تكون \(\kappa = 0\)؟ يصبح التوزيع منتظماً على الدائرة: \(f(\text{x}) = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159155\) لكل قيمة \(x\)، وتزداد \(P(\text{x})\) خطياً.
هل يمكنني إدخال \(x\) خارج المجال \([\mu-\pi, \mu+\pi]\)؟ نعم. الكثافة دورية بدورة \(2\pi\) في \(x\)، وتقوم دالة التوزيع التراكمي بإرجاع \(z = \text{x} - \mu\) إلى المجال \([-\pi, \pi]\) قبل إجراء التكامل.
