폰 미제스 분포란?
폰 미제스 분포는 정규(가우스) 분포를 원형 데이터에 맞게 확장한 분포입니다. 원 위의 각도나 방향을 모델링하며, 평균 방향 \(\mu\)와 집중도 매개변수 \(\kappa\)로 정의됩니다. \(\kappa\)가 클수록 분포는 \(\mu\) 주변에 뾰족하게 모이고, \(\kappa = 0\)이면 원 위에서 균등분포가 됩니다. 이 계산기는 어디서나 통용되는 보편적인 수학 도구로, 모든 계산에 라디안(radian)을 사용합니다.
계산기 사용법
먼저 원하는 값을 선택하세요. 확률밀도 \(f\), 하측 누적확률 \(P\)(CDF), 또는 상측 누적확률 \(Q = 1 - P\) 중에서 고를 수 있습니다. 그다음 평균 방향 \(\mu\)(라디안), 집중도 \(\kappa \ge 0\), 그리고 값을 구할 각도 \(x\)(라디안)를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 세 가지 값이 모두 표시되며, 선택한 값이 강조되어 나타납니다.
공식 풀이
확률밀도 함수는 다음과 같이 정의됩니다.
$$f(x; \mu, \kappa) = \frac{e^{\kappa\cos\left(x - \mu\right)}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}$$여기서 \(I_{0}(\kappa)\)는 0차 제1종 변형 베셀 함수로, 수렴하는 급수 \(I_{0}(\kappa) = \sum (\kappa/2)^{2m}/(m!)^{2}\)로 계산합니다. 누적확률 \(P(x)\)는 \(f\)를 \(\mu-\pi\)부터 \(x\)까지 적분한 값입니다.
$$F(x) = \int_{-\pi}^{\,x - \mu} \frac{e^{\kappa\cos\theta}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}\, d\theta$$이 계산기에서는 \(z = x - \mu\)를 \([-\pi, \pi]\) 구간으로 변환한 뒤, 2000개의 소구간에 대해 심프슨 공식(Simpson's rule)으로 구합니다. 따라서 \(P\)는 \(z = -\pi\)에서 0, \(z = +\pi\)에서 1까지의 값을 가집니다. \(Q\)는 단순히 \(1 - P\)입니다.
예제 풀이
\(\mu = 0\), \(\kappa = 1\), \(x = 0\)인 경우를 살펴봅시다. 이때 \(I_{0}(1) \approx 1.2660658778\)이고 \(\cos(0) = 1\)이므로 \(e^{1} = 2.71828\)입니다. 따라서 밀도는 다음과 같습니다.
$$f = \frac{2.71828}{2\pi \cdot 1.26607} \approx 0.3417 \ (\text{라디안당})$$\(f\)는 \(\mu = 0\)을 중심으로 대칭이므로 질량의 정확히 절반이 \(x = 0\) 아래에 놓이며, 그 결과 \(P(0) = 0.5\), \(Q(0) = 0.5\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
밀도의 단위는 무엇인가요? 확률밀도 함수(PDF)의 단위는 \(1/\)라디안입니다. \(2\pi\) 라디안 원 전체에 대해 적분하면 1이 되기 때문입니다.
\(\kappa = 0\)이면 어떻게 되나요? 분포가 원 위에서 균등분포가 됩니다. 모든 \(x\)에 대해 \(f(x) = 1/(2\pi) \approx 0.159155\)이고, \(P(x)\)는 선형으로 증가합니다.
\(x\)를 \([\mu-\pi, \mu+\pi]\) 범위 밖의 값으로 입력해도 되나요? 네, 괜찮습니다. 밀도는 \(x\)에 대해 \(2\pi\) 주기를 가지며, CDF는 적분 전에 \(z = x - \mu\)를 \([-\pi, \pi]\) 구간으로 변환합니다.
