¿Qué es la distribución de von Mises?
La distribución de von Mises es el equivalente circular de la distribución normal (gaussiana). Sirve para modelar ángulos o direcciones sobre una circunferencia y queda definida por una dirección media μ y un parámetro de concentración κ. Cuando κ es grande, la distribución se concentra de forma muy marcada en torno a μ; cuando \(\kappa = 0\), se reduce a la distribución uniforme sobre el círculo. Esta calculadora es una herramienta matemática universal: vale en cualquier contexto y trabaja siempre en radianes.
Cómo usar esta calculadora
Elige qué quieres obtener: la densidad de probabilidad f, la probabilidad acumulada inferior P (la función de distribución o CDF) o la probabilidad acumulada superior \(Q = 1 - P\). Introduce la dirección media μ (en radianes), la concentración \(\kappa \geq 0\) y el ángulo x (en radianes) en el que quieres evaluar. Pulsa calcular para ver las tres magnitudes a la vez, con la que hayas seleccionado resaltada.
La fórmula explicada
La función de densidad de probabilidad es $$f(\text{x}; \mu, \kappa) = \frac{e^{\kappa\cos\left(\text{x} - \mu\right)}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}$$ donde \(I_{0}(\kappa)\) es la función de Bessel modificada de primera especie de orden 0, que se calcula a partir de la serie convergente $$I_{0}(\kappa) = \sum \frac{(\kappa/2)^{2m}}{(m!)^{2}}$$ La probabilidad acumulada \(P(\text{x})\) es la integral de f desde \(\mu-\pi\) hasta x; aquí se obtiene mediante la regla de Simpson sobre 2000 subintervalos, tras envolver \(z = \text{x} - \mu\) en el intervalo \([-\pi, \pi]\), de modo que P va de 0 en \(z = -\pi\) hasta 1 en \(z = +\pi\). Q es simplemente \(1 - P\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\mu = 0\), \(\kappa = 1\), \(\text{x} = 0\). Entonces \(I_{0}(1) \approx 1{,}2660658778\) y \(\cos(0) = 1\), así que \(e^{1} = 2{,}71828\). La densidad es $$f = \frac{2{,}71828}{2\pi \cdot 1{,}26607} \approx 0{,}3417 \text{ por radián}$$ Por la simetría de f respecto a \(\mu = 0\), exactamente la mitad de la masa de probabilidad queda por debajo de \(\text{x} = 0\), lo que da \(P(0) = 0{,}5\) y \(Q(0) = 0{,}5\).
Preguntas frecuentes
¿En qué unidades se expresa la densidad? La función de densidad tiene unidades de 1/radián, ya que su integral vale 1 sobre la circunferencia completa de \(2\pi\) radianes.
¿Qué ocurre cuando \(\kappa = 0\)? La distribución se vuelve uniforme sobre el círculo: \(f(\text{x}) = \frac{1}{2\pi} \approx 0{,}159155\) para cualquier x, y \(P(\text{x})\) crece de forma lineal.
¿Puedo introducir un valor de x fuera de \([\mu-\pi, \mu+\pi]\)? Sí. La densidad es periódica de periodo \(2\pi\) en x, y la CDF envuelve \(z = \text{x} - \mu\) dentro de \([-\pi, \pi]\) antes de integrar.
