Phân phối von Mises là gì?
Phân phối von Mises chính là "bản sao vòng tròn" của phân phối chuẩn (Gauss). Nó mô tả các góc hay hướng trên một vòng tròn, được xác định bởi hướng trung bình \(\mu\) và tham số độ tập trung \(\kappa\). Khi \(\kappa\) lớn, phân phối tập trung sắc nét quanh \(\mu\); còn khi \(\kappa = 0\), nó trở thành phân phối đều trên vòng tròn. Đây là một công cụ toán học phổ quát — áp dụng được ở mọi nơi và sử dụng đơn vị radian xuyên suốt.
Cách sử dụng máy tính
Trước tiên hãy chọn đại lượng bạn cần: mật độ xác suất f, xác suất tích lũy dưới P (hàm CDF) hoặc xác suất tích lũy trên \(Q = 1 - P\). Sau đó nhập hướng trung bình \(\mu\) (radian), độ tập trung \(\kappa \ge 0\) và góc \(x\) (radian) cần tính. Nhấn "Tính" để xem cả ba đại lượng, trong đó đại lượng bạn đã chọn sẽ được làm nổi bật.
Giải thích công thức
Hàm mật độ xác suất là
$$f(\text{x}; \mu, \kappa) = \frac{e^{\kappa\cos\left(\text{x} - \mu\right)}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}$$trong đó \(I_0(\kappa)\) là hàm Bessel biến đổi loại một bậc 0, được tính từ chuỗi hội tụ \(I_0(\kappa) = \sum (\kappa/2)^{2m}/(m!)^2\). Xác suất tích lũy \(P(\text{x})\) là tích phân của f tính từ \(\mu-\pi\) đến \(x\);
$$F(\text{x}) = \int_{-\pi}^{\,\text{x} - \mu} \frac{e^{\kappa\cos\theta}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}\, d\theta$$ở đây nó được tính bằng quy tắc Simpson trên 2000 khoảng con sau khi đưa \(z = x - \mu\) về đoạn \([-\pi, \pi]\), nên P chạy từ 0 tại \(z = -\pi\) đến 1 tại \(z = +\pi\). Còn Q đơn giản chỉ là \(1 - P\).
Ví dụ minh họa
Lấy \(\mu = 0\), \(\kappa = 1\), \(x = 0\). Khi đó \(I_0(1) \approx 1{,}2660658778\) và \(\cos(0) = 1\), nên \(e^{1} = 2{,}71828\). Mật độ là
$$f = \frac{2{,}71828}{2\pi \cdot 1{,}26607} \approx 0{,}3417$$trên mỗi radian. Vì f đối xứng quanh \(\mu = 0\) nên đúng một nửa khối lượng xác suất nằm dưới \(x = 0\), cho ra \(P(0) = 0{,}5\) và \(Q(0) = 0{,}5\).
Câu hỏi thường gặp
Mật độ có đơn vị là gì? Hàm PDF có đơn vị 1/radian, bởi vì tích phân của nó trên một vòng tròn \(2\pi\) radian bằng 1.
Điều gì xảy ra khi \(\kappa = 0\)? Phân phối trở thành phân phối đều trên vòng tròn: \(f(\text{x}) = 1/(2\pi) \approx 0{,}159155\) với mọi giá trị \(x\), và \(P(\text{x})\) tăng tuyến tính.
Tôi có thể nhập x nằm ngoài đoạn \([\mu-\pi, \mu+\pi]\) không? Có. Mật độ tuần hoàn theo chu kỳ \(2\pi\) theo x, và hàm CDF sẽ tự đưa \(z = x - \mu\) về đoạn \([-\pi, \pi]\) trước khi lấy tích phân.
