Что такое распределение фон Мизеса?
Распределение фон Мизеса — это круговой аналог нормального (гауссова) распределения. Оно описывает углы или направления на окружности и задаётся двумя параметрами: средним направлением \(\mu\) и параметром концентрации \(\kappa\). Чем больше \(\kappa\), тем сильнее распределение «сжато» вокруг \(\mu\); при \(\kappa = 0\) оно превращается в равномерное распределение по всей окружности. Этот калькулятор — универсальный математический инструмент: он работает в любой стране и везде использует радианы.
Как пользоваться калькулятором
Выберите, что нужно вычислить: плотность вероятности \(f\), нижнюю накопленную вероятность \(P\) (функцию распределения, CDF) или верхнюю накопленную вероятность \(Q = 1 - P\). Введите среднее направление \(\mu\) (в радианах), концентрацию \(\kappa \ge 0\) и угол \(x\) (в радианах), в котором ведётся расчёт. Нажмите «Рассчитать» — и увидите сразу все три величины, причём выбранная будет выделена.
Разбор формулы
Функция плотности вероятности имеет вид
$$f(\text{x}; \mu, \kappa) = \frac{e^{\kappa\cos\left(\text{x} - \mu\right)}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}$$где \(I_0(\kappa)\) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Её вычисляют по сходящемуся ряду
$$I_0(\kappa) = \sum \frac{(\kappa/2)^{2m}}{(m!)^2}$$Накопленная вероятность \(P(\text{x})\) — это интеграл от \(f\) в пределах от \(\mu-\pi\) до \(x\);
$$F(\text{x}) = \int_{-\pi}^{\,\text{x} - \mu} \frac{e^{\kappa\cos\theta}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}\, d\theta$$здесь он находится по методу Симпсона на 2000 подынтервалах после приведения \(z = x - \mu\) к диапазону \([-\pi, \pi]\), поэтому \(P\) изменяется от 0 при \(z = -\pi\) до 1 при \(z = +\pi\). Величина \(Q\) — это просто \(1 - P\).
Разбор примера
Возьмём \(\mu = 0\), \(\kappa = 1\), \(x = 0\). Тогда \(I_0(1) \approx 1{,}2660658778\) и \(\cos(0) = 1\), поэтому \(e^1 = 2{,}71828\). Плотность равна
$$f = \frac{2{,}71828}{2\pi \cdot 1{,}26607} \approx 0{,}3417$$на радиан. Поскольку \(f\) симметрична относительно \(\mu = 0\), ровно половина «массы» приходится на область ниже \(x = 0\), что даёт \(P(0) = 0{,}5\) и \(Q(0) = 0{,}5\).
Частые вопросы
В каких единицах измеряется плотность? Плотность (PDF) измеряется в \(1/\text{радиан}\), поскольку её интеграл по всей окружности в \(2\pi\) радиан равен 1.
Что происходит при \(\kappa = 0\)? Распределение становится равномерным по окружности: \(f(\text{x}) = \frac{1}{2\pi} \approx 0{,}159155\) для любого \(x\), а \(P(\text{x})\) растёт линейно.
Можно ли вводить x вне диапазона \([\mu-\pi, \mu+\pi]\)? Да. Плотность периодична по \(x\) с периодом \(2\pi\), а при вычислении CDF значение \(z = x - \mu\) предварительно приводится к диапазону \([-\pi, \pi]\).
