Что такое распределение Вейбулла?
Распределение Вейбулла — одно из самых гибких непрерывных распределений вероятностей и фундамент теории надёжности, анализа долговечности и моделирования времени жизни. Подбирая всего два параметра — параметр формы m (его также обозначают k или бета) и параметр масштаба eta (он же лямбда или a, так называемая характеристическая наработка) — можно описывать интенсивность отказов, которая со временем убывает, остаётся постоянной или растёт. Этот калькулятор использует стандартную двухпараметрическую форму с параметром сдвига, равным нулю, поэтому область определения — \(x \ge 0\).
Как пользоваться калькулятором
Введите значение x, в котором нужно вычислить распределение (\(x \ge 0\)), параметр формы m (\(> 0\)) и параметр масштаба eta (\(> 0\)). Калькулятор выдаёт три результата: плотность вероятности \(f(x)\), нижнюю накопленную вероятность \(P(X \le x)\) (функцию распределения, CDF) и верхнюю накопленную вероятность \(P(X > x)\) (функцию надёжности, или выживания). Учтите, что сумма \(F(x) + R(x)\) всегда равна 1.
Разбор формул
Обозначим \(z = x / \eta\). Плотность вычисляется как $$f(x) = \frac{m}{\eta} \cdot z^{m-1} \cdot e^{-z^{m}}.$$ Функция распределения равна $$F(x) = 1 - e^{-z^{m}},$$ а функция надёжности — $$R(x) = e^{-z^{m}}.$$ Именно параметр формы определяет характер интенсивности отказов: при \(m = 1\) распределение превращается в экспоненциальное (постоянная интенсивность отказов, среднее значение \(\eta\)), при \(m = 2\) получается распределение Рэлея, а при \(m\) около 3,6 кривая по форме приближается к колоколообразному нормальному распределению.
Пример расчёта
Пусть \(x = 1{,}5\), \(m = 2\), \(\eta = 1\). Тогда \(z = 1{,}5\) и \(z^{m} = 2{,}25\), поэтому \(e^{-2{,}25} = 0{,}105399\). Верхняя накопленная вероятность \(R = 0{,}105399\), а нижняя \(F = 1 - 0{,}105399 = 0{,}894601\). Плотность равна $$f = \frac{2}{1} \cdot 1{,}5^{1} \cdot 0{,}105399 = 0{,}316198.$$
Частые вопросы
Почему \(F(\eta)\) при любом значении формы примерно равно 0,632? Когда \(x = \eta\), имеем \(z = 1\), значит \(z^{m} = 1\) и \(F = 1 - e^{-1} = 0{,}6321\) — независимо от \(m\). Поэтому \(\eta\) и называют характеристической наработкой.
Что происходит при \(x < 0\)? Область определения двухпараметрического распределения Вейбулла — \([0, \infty)\), поэтому здесь \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\) и \(R(x) = 1\).
Нужны ли масштабу единицы измерения? На вход подаются просто числа; \(x\) и \(\eta\) должны быть выражены в одних и тех же единицах (например, в часах), но сам расчёт безразмерен.
