什么是威布尔分布？
威布尔分布（Weibull distribution）是最灵活的连续概率分布之一，也是可靠性工程、寿命数据分析和生存分析的基石。它通过两个参数来描述——形状参数 m（也常写作 k 或 β）和尺度参数 eta（也写作 λ 或 a，即特征寿命）——可以刻画随时间递减、保持恒定或逐渐上升的失效率。本计算器采用标准的双参数尺度形式，位置参数固定为零，因此其定义域为 \(x \geq 0\)。
如何使用本计算器
输入要评估分布的取值 x（\(x \geq 0\)）、形状参数 m（\(> 0\)）以及尺度参数 eta（\(> 0\)）。本工具会给出三个结果：概率密度 \(f(x)\)、下侧累积概率 \(P(X \leq x)\)（即 CDF），以及上侧累积概率 \(P(X > x)\)（即生存函数或可靠度函数）。请注意，\(F(x)\) 与 \(R(x)\) 之和恒等于 1。
公式详解
令 \(z = x / \eta\)。概率密度为 $$f(x) = \frac{m}{\eta} \left(\frac{x}{\eta}\right)^{m-1} e^{-\left(x/\eta\right)^{m}}$$ 累积分布函数为 $$F(x) = 1 - e^{-\left(x/\eta\right)^{m}}$$ 生存函数为 $$R(x) = e^{-\left(x/\eta\right)^{m}}$$ 形状参数决定了失效率（风险率）的变化趋势：当 \(m = 1\) 时退化为指数分布（失效率恒定，均值为 \(\eta\)）；当 \(m = 2\) 时为瑞利分布；当 \(m\) 约等于 3.6 时，曲线近似呈钟形正态分布。
实例演算
取 \(x = 1.5\)，\(m = 2\)，\(\eta = 1\)。则 \(z = 1.5\)，\(z^m = 2.25\)，因此 \(e^{-2.25} = 0.105399\)。上侧累积概率 $$R = 0.105399$$ 下侧累积概率 $$F = 1 - 0.105399 = 0.894601$$ 概率密度 $$f = \frac{2}{1} \cdot 1.5^1 \cdot 0.105399 = 0.316198$$
常见问题
为什么无论形状参数取何值，\(F(\eta)\) 都约等于 0.632？当 \(x = \eta\) 时，\(z = 1\)，故 \(z^m = 1\)，于是 \(F = 1 - e^{-1} = 0.6321\)，与 \(m\) 无关。这正是 \(\eta\) 被称为"特征寿命"的原因。
当 \(x < 0\) 时会怎样？双参数威布尔分布的定义域为 \([0, +\infty)\)，因此在该区间内 \(f(x) = 0\)、\(F(x) = 0\)、\(R(x) = 1\)。
尺度参数需要带单位吗？所有输入均为纯数值；\(x\) 与 \(\eta\) 应使用相同的单位（例如小时），但计算本身是无量纲的。
