什么是Beta分布？
Beta分布是一种定义在区间[0, 1]上的连续概率分布，由两个正的形状参数α（alpha）和β（beta）共同决定。由于它的取值范围恰好落在单位区间内，因此特别适合用来描述各种比例、概率、百分比和比率——比如网站的转化率、棒球选手的打击率，或者贝叶斯推断中某个事件成功的未知概率（Beta分布正是二项分布的共轭先验）。
如何使用本计算器
填入两个形状参数α和β（两者都必须大于0），再输入一个介于0到1之间的x值。计算器会返回该点处的概率密度f(x)，并同时给出分布的均值、方差、标准差和众数。α越大，概率质量越向1偏移；β越大，则越向0偏移；当α与β相等时，曲线关于0.5对称。
公式详解
均值为 \(\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\)，方差为 \(\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\)。概率密度的计算公式是
$$f(\text{x};\,\alpha,\beta) = \frac{\text{x}^{\,\alpha-1}\left(1-\text{x}\right)^{\beta-1}}{B\!\left(\alpha,\beta\right)}$$其中 \(B(\alpha,\beta) = \dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\) 是Beta函数，它的作用是对曲线进行归一化，使整条曲线下方的面积恰好等于1。当α和β都大于1时，众数（峰值）出现在 \(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\) 处。
实例演算
设 \(\alpha = 2\)，\(\beta = 5\)，\(\text{x} = 0.5\)。均值为
$$\mu = \frac{2}{7} \approx 0.2857$$方差为
$$\sigma^2 = \frac{2\cdot 5}{\left(7^2\right)\left(8\right)} = \frac{10}{392} \approx 0.02551$$又因为 \(B(2, 5) = \dfrac{1}{30}\)，所以概率密度
$$f(0.5) = 0.5^1 \cdot 0.5^4 \cdot 30 = 0.5^5 \cdot 30 = 0.03125 \cdot 30 = 0.9375$$形状参数如何改变分布
Beta分布定义在区间\([0,1]\)上，其整个形状由两个正形状参数\(\alpha\)和\(\beta\)控制。均值始终为\(\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\)，方差为\(\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\)，当\(\alpha,\beta>1\)时，众数为\(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\)。下表显示了几个经典的参数对。
| (α, β) | 形状 | 均值 = α/(α+β) | 众数 | 方差 |
|---|---|---|---|---|
| (1, 1) | 在[0,1]上均匀分布（平坦） | 0.5 | 无（平坦） | 0.0833 |
| (0.5, 0.5) | U形（两端有大量质量，反正弦） | 0.5 | 0和1（反众数） | 0.1250 |
| (2, 2) | 对称钟形，在中心处峰值 | 0.5 | 0.5 | 0.0500 |
| (5, 5) | 更紧的对称钟形 | 0.5 | 0.5 | 0.0227 |
| (2, 5) | 右偏（质量偏向0） | 0.2857 | 0.2 | 0.0255 |
| (5, 2) | 左偏（质量偏向1） | 0.7143 | 0.8 | 0.0255 |
两个规律突出。首先，交换\(\alpha\)和\(\beta\)会将分布关于\(x=0.5\)镜像翻转，所以(2,5)和(5,2)具有相同的形状和方差但偏度相反。其次，在保持比率固定的情况下同时增加两个参数（例如(2,2)\(\to\)(5,5)）保持均值在0.5处但缩小方差，使曲线更紧密地集中在均值周围。
解释您的Beta结果
因为Beta分布的支撑集为\([0,1]\)，它是未知比例、概率或速率的自然模型。每个汇总统计量回答一个不同的问题：
- 均值\(\mu=\alpha/(\alpha+\beta)\)是预期的比例——您对基础概率的最佳单一数值估计。
- 众数\((\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)\)是最可能的值，即密度峰值的位置。只有当\(\alpha>1\)和\(\beta>1\)时，它才作为内部峰值存在；否则质量堆积在端点。
- 方差和标准差测量分布的分散程度，或对该比例的不确定性有多大。较小的标准差意味着您确信真实值位于均值附近。
量\(\alpha+\beta\)的作用类似于样本量或集中度：它越大，方差越小，密度围绕均值的集中度越高。两个分布可以共享相同的均值但具有非常不同的确定性——Beta(2,2)和Beta(50,50)都以0.5为中心，但后者的分布要狭窄得多。
在贝叶斯推断中，Beta是二项分布（伯努利）似然的共轭先验。如果您从先验Beta(\(\alpha_0,\beta_0\))开始，然后观察\(s\)次成功和\(f\)次失败，后验分布就是Beta(\(\alpha_0+s,\ \beta_0+f\))。对于均匀先验Beta(1,1)，\(\alpha\)有效地计数成功数加1，\(\beta\)计数失败数加1；后验均值\((s+1)/(s+f+2)\)是经典的拉普拉斯继续法则。
最后，请记住\(f(x)\)是概率密度，而不是概率。它的值可以超过1（例如在紧密集中的Beta的峰值附近），只有曲线下两点之间的面积——从不是单点处的高度——才给出实际概率。在\([0,1]\)上的总面积始终等于1。
定义与词汇表
- α（阿尔法）
- 第一个形状参数，\(\alpha>0\)。粗略地说，它代表"成功"的权重；较大的\(\alpha\)将质量推向1。
- β（贝塔）
- 第二个形状参数，\(\beta>0\)。粗略地说，它代表"失败"的权重；较大的\(\beta\)将质量推向0。
- 概率密度 f(x)
- 概率密度函数，\(f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\)，其中\(0\le x\le 1\)。它描述相对可能性；概率是其下面的面积。
- Beta函数 B(α,β)
- 归一化常数，\(B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\)。用它除以密度使其积分为1。
- Gamma函数 Γ
- 阶乘的连续扩展，对于正整数\(\Gamma(n)=(n-1)!\)，一般定义为\(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\)。它联系了上面的Beta和Gamma函数。
- 均值
- 期望值，\(\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\)——长期平均比例。
- 方差
- 分布分散的度量，\(\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\)。
- 标准差
- 方差的平方根，\(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\)，以与\(x\)相同的单位表示。
- 众数
- 最可能的值（密度的峰值），当\(\alpha>1\)且\(\beta>1\)时为\(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\)。
- 共轭先验
- 一个先验分布，与给定似然结合后，产生相同族中的后验分布。Beta是二项式/伯努利似然的共轭先验。
- 支撑[0,1]
- 随机变量可以取值的范围。Beta分布仅在闭区间\([0,1]\)上定义，使其非常适合比例和概率。
常见问题
α或β可以小于1吗？ 可以——当取值小于1时，曲线会呈现U形或J形，概率密度在端点附近急剧上升，此时边界处的密度甚至可能趋于无穷大。
Beta分布在什么情况下变成均匀分布？ 当 \(\alpha = \beta = 1\) 时，概率密度曲线是一条水平直线，在[0, 1]上处处等于1——这与均匀分布完全一致。
为什么x必须保持在0到1之间？ 因为Beta分布在[0, 1]之外的密度为零，所以超出这个范围的x值对于PDF来说是没有定义的。
