Beta 分布計算器

平均數	0.285714
變異數	0.02551
標準差	0.159719
眾數	0.2

什麼是 Beta 分布？

Beta 分布是定義在區間 [0, 1] 上的連續機率分布，由兩個正的形狀參數 α（alpha）與 β（beta）所決定。由於它的取值落在單位區間內，因此特別適合用來描述比例、機率、百分比與比率——例如網站轉換率、棒球打擊率，或是貝氏推論中未知的成功機率（Beta 分布正是二項分布的共軛先驗）。

區間 0 到 1 上具有不同形狀參數的多條 Beta 分布機率密度曲線 — Beta 分布定義在 [0,1] 上，其形狀隨 α 與 β 變化。

如何使用本計算器

輸入兩個形狀參數 α 與 β（兩者都必須大於 0），再輸入一個介於 0 與 1 之間的 x 值。計算器會回傳該點的機率密度 $f(x)$，同時提供分布的平均數、變異數、標準差與眾數。α 越大，機率質量會往 1 靠攏；β 越大，則往 0 靠攏；當兩者相等時，分布會對稱地分布在 0.5 周圍。

公式解析

平均數為 $$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$，變異數為 $$\sigma^2 = \frac{\alpha\,\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}$$。機率密度則是 $$f(\text{x};\,\alpha,\beta) = \frac{\text{x}^{\,\alpha-1}\left(1-\text{x}\right)^{\beta-1}}{B\!\left(\alpha,\beta\right)}$$，其中 $B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}$ 為 Beta 函數，作用是將曲線正規化，使其總面積等於 1。當 α 與 β 都大於 1 時，眾數（曲線最高點）位於 $$\text{Mode} = \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$$。

Beta 分布機率密度公式各組成部分的示意圖 — 密度由 x^(α−1)、(1−x)^(β−1) 和正規化的 Beta 函數 B(α,β) 組成。

實際範例

假設 α = 2、β = 5、x = 0.5。平均數為 $\frac{2}{7} \approx 0.2857$，變異數為 $\frac{2\cdot 5}{(7^2)(8)} = \frac{10}{392} \approx 0.02551$。由於 $B(2, 5) = \frac{1}{30}$，因此密度為 $$f(0.5) = 0.5^1 \cdot 0.5^4 \cdot 30 = 0.5^5 \cdot 30 = 0.03125 \cdot 30 = 0.9375$$。

形狀參數如何改變分佈

貝他分佈定義在區間 $[0,1]$ 上，其整個形狀由兩個正的形狀參數 $\alpha$ 和 $\beta$ 控制。平均值為 $\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$，變異數為 $\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$，眾數（當 $\alpha,\beta>1$ 時）為 $\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$。下表顯示幾對經典參數。

(α, β)	形狀	平均值 = α/(α+β)	眾數	變異數
(1, 1)	均勻分佈（平坦）在 [0,1]	0.5	無（平坦）	0.0833
(0.5, 0.5)	U形（兩端集中，反正弦分佈）	0.5	0 和 1（反眾數）	0.1250
(2, 2)	對稱鐘形，中心尖峰	0.5	0.5	0.0500
(5, 5)	更緊密的對稱鐘形	0.5	0.5	0.0227
(2, 5)	右偏斜（質量集中在 0）	0.2857	0.2	0.0255
(5, 2)	左偏斜（質量集中在 1）	0.7143	0.8	0.0255

有兩個突出的模式。首先，交換 $\alpha$ 和 $\beta$ 會將分佈關於 $x=0.5$ 進行鏡像翻轉，所以 (2,5) 和 (5,2) 具有相同的形狀和變異數，但偏斜方向相反。其次，在保持其比率固定的情況下同時增加兩個參數（例如 (2,2) $\to$ (5,5)）會使平均值保持在 0.5，但收縮變異數，使曲線更緊密地集中在平均值周圍。

解釋您的貝他分佈結果

由於貝他分佈的定義域是 $[0,1]$，它是未知比例、概率或速率的自然模型。每個摘要統計量回答一個不同的問題：

平均值 $\mu=\alpha/(\alpha+\beta)$ 是預期比例 — 您對基礎概率的最佳單一數字估計。
眾數 $(\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)$ 是最有可能的值，即密度峰值的位置。只有當 $\alpha>1$ 和 $\beta>1$ 時，它才作為內部峰值存在；否則質量堆積在端點。
變異數和標準差衡量分散，或對比例的不確定性有多大。小的標準差意味著您確信真實值位於平均值附近。

量 $\alpha+\beta$ 的作用類似於樣本量或集中度：越大，變異數越小，密度越尖銳地集中在平均值周圍。兩個分佈可以共享相同的平均值，但確定性卻大不相同 — 貝他(2,2) 和貝他(50,50) 都以 0.5 為中心，但後者窄得多。

在貝葉斯推論中，貝他分佈是二項式（伯努利）概然度的共軛先驗。如果您從先驗貝他($\alpha_0,\beta_0$) 開始，然後觀察 $s$ 次成功和 $f$ 次失敗，後驗簡單地為貝他($\alpha_0+s,\ \beta_0+f$)。使用均勻先驗貝他(1,1)，$\alpha$ 實際上計數成功次數 $+1$，$\beta$ 計數失敗次數 $+1$；後驗平均值 $(s+1)/(s+f+2)$ 是經典的拉普拉斯成功比例規則。

最後，請記住 $f(x)$ 是概率密度，而不是概率。其值可以超過 1（例如在緊密集中的貝他分佈峰值附近），只有曲線下兩點之間的面積 — 絕對不是單一點的高度 — 才能給出實際概率。$[0,1]$ 上的總面積總是等於 1。

定義和詞彙表

α（α 參數）: 第一個形狀參數，$\alpha>0$。粗略地說，它代表「成功」的權重；較大的 $\alpha$ 會將質量推向 1。
β（β 參數）: 第二個形狀參數，$\beta>0$。粗略地說，它代表「失敗」的權重；較大的 $\beta$ 會將質量推向 0。
機率密度 f(x): 概率密度函數，$f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$ 對於 $0\le x\le 1$。它描述相對概然度；概率是它下方的面積。
貝他函數 B(α,β): 歸一化常數，$B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$。除以它使密度積分為 1。
Gamma 函數 Γ: 階乘的連續延拓，$\Gamma(n)=(n-1)!$ 對於正整數，一般由 $\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$ 定義。它連結上述貝他和 Gamma 函數。
平均值: 預期值，$\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ — 長期平均比例。
變異數: 分散的衡量，$\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$。
標準差: 變異數的平方根，$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$，以與 $x$ 相同的單位表示。
眾數: 最有可能的值（密度的峰值），$\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ 當 $\alpha>1$ 和 $\beta>1$ 時。
共軛先驗: 一個先驗分佈，與給定的概然度相結合時，產生同一族中的後驗。貝他是二項式/伯努利概然度的共軛先驗。
定義域 [0,1]: 隨機變數可以取的值的範圍。貝他分佈僅定義在閉區間 $[0,1]$ 上，使其非常適合比例和概率。