حاسبة توزيع بيتا — المتوسط والتباين ودالة الكثافة الاحتمالية

المتوسط	٠٫٢٨٥٧١٤
التباين	٠٫٠٢٥٥١
الانحراف المعياري	٠٫١٥٩٧١٩
المنوال	٠٫٢

ما هو توزيع بيتا؟

توزيع بيتا هو توزيع احتمالي متصل مُعرَّف على الفترة [0، 1]، ويتحكم فيه معاملا شكل موجبان هما $\alpha$ (ألفا) و$\beta$ (بيتا). ولأنه محصور ضمن فترة الوحدة، فهو الخيار الطبيعي لنمذجة النِّسَب والاحتمالات والنِّسَب المئوية والمعدّلات — مثل معدّل التحويل (conversion rate)، أو متوسط النجاح في الرياضة، أو احتمال النجاح المجهول في الاستدلال البايزي (حيث يُعدّ التوزيع المرافق المترافق للتوزيع ذي الحدّين).

عدة منحنيات لدالة كثافة الاحتمال لتوزيع بيتا بمعاملات شكل مختلفة على الفترة من 0 إلى 1 — توزيع بيتا معرّف على المجال [0,1] ويتغير شكله بتغير $\alpha$ و$\beta$.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخِل معاملي الشكل $\alpha$ و$\beta$ (ويجب أن يكون كلاهما أكبر من صفر)، وقيمة $x$ بين 0 و1. تُرجِع لك الحاسبة الكثافة الاحتمالية $f(x)$ عند تلك النقطة، إضافةً إلى متوسط التوزيع وتباينه وانحرافه المعياري ومنواله. كلما زادت قيمة $\alpha$، انزاحت الكتلة الاحتمالية نحو 1؛ وكلما زادت قيمة $\beta$، انزاحت نحو 0؛ أما عند تساوي القيمتين فيصبح التوزيع متماثلًا حول 0.5.

شرح المعادلة

المتوسط هو $$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$ والتباين هو $$\sigma^2 = \frac{\alpha\,\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}$$ أما الكثافة الاحتمالية فهي $$f(x;\,\alpha,\beta) = \frac{x^{\,\alpha-1}\left(1-x\right)^{\beta-1}}{B\!\left(\alpha,\beta\right)}$$ حيث $B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ هي دالة بيتا التي تُعيِّر المنحنى بحيث تساوي مساحته الكلية 1. ويوجد المنوال (الذروة) عند $\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ شرط أن تتجاوز كل من $\alpha$ و$\beta$ القيمة 1.

اعلان

رسم تخطيطي لمكوّنات صيغة دالة كثافة توزيع بيتا — تجمع الكثافة بين $x^{\alpha-1}$ و$(1-x)^{\beta-1}$ ودالة بيتا التطبيعية $B(\alpha,\beta)$.

مثال محلول

لنأخذ $\alpha = 2$، $\beta = 5$، $x = 0.5$. المتوسط يساوي $2/7 \approx 0.2857$. والتباين يساوي $$\frac{2\cdot 5}{(7^2)(8)} = \frac{10}{392} \approx 0.02551$$ وبما أن $B(2,5) = 1/30$، فإن الكثافة هي $$f(0.5) = 0.5^1\cdot 0.5^4 \cdot 30 = 0.5^5 \cdot 30 = 0.03125 \cdot 30 = 0.9375$$

كيف تغير معاملات الشكل التوزيع

يقع توزيع بيتا على الفترة $[0,1]$ ويتم التحكم في شكله بالكامل بواسطة معاملي الشكل الموجبين $\alpha$ و $\beta$. المتوسط هو دائماً $\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$، والتباين هو $\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$، والمنوال (عندما $\alpha,\beta>1$) هو $\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$. الجدول أدناه يعرض عدة أزواج معاملات كلاسيكية.

(α, β)	الشكل	المتوسط = α/(α+β)	المنوال	التباين
(1, 1)	موحد (مسطح) على [0,1]	0.5	بلا (مسطح)	0.0833
(0.5, 0.5)	على شكل حرف U (كتلة في كلا الطرفين، أركسين)	0.5	0 و 1 (نقاط مضادة للمنوال)	0.1250
(2, 2)	جرس متماثل، حاد عند المركز	0.5	0.5	0.0500
(5, 5)	جرس متماثل أضيق	0.5	0.5	0.0227
(2, 5)	ملتوى لليمين (كتلة نحو 0)	0.2857	0.2	0.0255
(5, 2)	ملتوى لليسار (كتلة نحو 1)	0.7143	0.8	0.0255

هناك نمطان يبرزان. أولاً، تبديل $\alpha$ و $\beta$ يعكس التوزيع حول $x=0.5$، لذلك (2,5) و (5,2) لهما نفس الشكل والتباين لكن الالتواء معاكس. ثانياً، زيادة كلا المعاملين مع الحفاظ على نسبتهما ثابتة (مثلاً (2,2) $\to$ (5,5)) تحافظ على المتوسط عند 0.5 لكنها تقلل التباين، وتركز المنحنى بشكل أضيق حول المتوسط.

تفسير نتيجة بيتا الخاصة بك

لأن توزيع بيتا معرّف على $[0,1]$، فهو النموذج الطبيعي لنسبة غير معروفة، احتمالية أو معدل. كل إحصائية موجزة تجيب على سؤال مختلف:

المتوسط $\mu=\alpha/(\alpha+\beta)$ هو النسبة المتوقعة — أفضل تقدير رقم واحد للاحتمالية الأساسية.
المنوال $(\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)$ هو القيمة الأكثر احتمالاً، أي موقع ذروة الكثافة. وجوده كذروة داخلية فقط عندما $\alpha>1$ و $\beta>1$؛ وإلا فإن الكتلة تتجمع عند نقطة نهاية.
التباين والانحراف المعياري يقيسان الانتشار، أو مقدار عدم اليقين المتبقي حول النسبة. الانحراف المعياري الصغير يعني أنك واثق من أن القيمة الحقيقية تقع بالقرب من المتوسط.

الكمية $\alpha+\beta$ تعمل مثل حجم العينة أو التركيز: كلما زادت، كلما قل التباين وتركزت الكثافة بشكل أكثر حدة حول المتوسط. يمكن لتوزيعين أن يشاركا نفس المتوسط لكن لهما يقين مختلف جداً — Beta(2,2) و Beta(50,50) كلاهما متمركز عند 0.5، لكن الأخير أضيق بكثير.

في الاستدلال البايزي، بيتا هو التوزيع السابق المُرافق للاحتمالية ذات الحدين (برنولي). إذا بدأت بتوزيع سابق Beta($\alpha_0,\beta_0$) ثم لاحظت $s$ نجاحات و $f$ فشل، فإن اللاحق هو ببساطة Beta($\alpha_0+s,\ \beta_0+f$). مع التوزيع السابق الموحد Beta(1,1)، يعد $\alpha$ فعلياً النجاحات $+1$ ويعد $\beta$ الفشل $+1$؛ متوسط اللاحق $(s+1)/(s+f+2)$ هو قاعدة لابلاس الكلاسيكية للخلافة.

أخيراً، تذكر أن $f(x)$ هو كثافة احتمالية، وليس احتمالية. يمكن أن تتجاوز قيمته 1 (على سبيل المثال بالقرب من ذروة بيتا مركزة بإحكام)، والمساحة فقط تحت المنحنى بين نقطتين — وليس أبداً الارتفاع عند نقطة واحدة — تعطي احتمالية فعلية. المساحة الإجمالية على $[0,1]$ تساوي دائماً 1.

اعلان

التعاريف والمسرد

α (ألفا): معامل الشكل الأول، $\alpha>0$. بشكل فضفاض يمثل وزن "النجاحات"؛ ألفا الأكبر يدفع الكتلة نحو 1.
β (بيتا): معامل الشكل الثاني، $\beta>0$. بشكل فضفاض يمثل وزن "الفشل"؛ بيتا الأكبر يدفع الكتلة نحو 0.
دالة الكثافة الاحتمالية f(x): دالة الكثافة الاحتمالية، $f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$ لـ $0\le x\le 1$. تصف الاحتمالية النسبية؛ الاحتماليات هي المساحات تحتها.
دالة بيتا B(α,β): الثابت المُطبِّع، $B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$. القسمة عليه تجعل الكثافة تتكامل إلى 1.
دالة جاما Γ: امتداد مستمر للعاملي، $\Gamma(n)=(n-1)!$ للأعداد الصحيحة الموجبة، معرّفة بشكل عام بـ $\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$. تربط دالتي بيتا وجاما أعلاه.
المتوسط: القيمة المتوقعة، $\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ — متوسط النسبة على المدى الطويل.
التباين: مقياس الانتشار، $\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$.
الانحراف المعياري: الجذر التربيعي للتباين، $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$، معبراً عنه بنفس وحدات $x$.
المنوال: القيمة الأكثر احتمالاً (ذروة الكثافة)، $\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ عندما $\alpha>1$ و $\beta>1$.
التوزيع السابق المُرافق: توزيع سابق يعطي، عند دمجه مع احتمالية معينة، لاحقاً في نفس الأسرة. بيتا هو التوزيع السابق المُرافق للاحتمالية ذات الحدين/برنولي.
الدعم [0,1]: نطاق القيم التي يمكن للمتغير العشوائي أن يأخذها. توزيع بيتا معرّف فقط على الفترة المغلقة $[0,1]$، مما يجعله مثالياً للنسب والاحتماليات.

الأسئلة الشائعة

هل يمكن أن يكون $\alpha$ أو $\beta$ أقل من 1؟ نعم — القيم الأقل من 1 تُنتج منحنى على شكل حرف U أو J، حيث تتصاعد الكثافة نحو طرفي الفترة. وعندها قد تصبح الكثافة عند الحدود غير محدودة.

متى يصبح توزيع بيتا منتظمًا؟ عندما يكون $\alpha = \beta = 1$، تصبح دالة الكثافة الاحتمالية مسطّحة وتساوي 1 في كل نقطة على [0، 1] — وهو ما يطابق التوزيع المنتظم تمامًا.

لماذا يجب أن تبقى $x$ بين 0 و1؟ تكون كثافة توزيع بيتا صفرًا خارج الفترة [0، 1]، لذا فإن القيم خارج هذا النطاق غير مُعرَّفة بالنسبة لدالة الكثافة الاحتمالية.