ما هي القاعدة التجريبية؟
القاعدة التجريبية — والتي تُعرف أيضًا بقاعدة 68-95-99.7 أو قاعدة الانحرافات الثلاثة (ثلاثة سيغما) — توضّح كيفية توزّع البيانات في التوزيع الطبيعي ذي الشكل الجرسي. وتنص على أن نحو 68% من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط، وحوالي 95% تقع ضمن انحرافين معياريين، وما يقارب 99.7% تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية. تحوّل هذه الحاسبة فورًا قيمتي المتوسط (\(\mu\)) والانحراف المعياري (\(\sigma\)) إلى هذه النطاقات الثلاثة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل متوسط مجموعة بياناتك وانحرافها المعياري، ثم اقرأ النطاقات الثلاثة مباشرةً. يعرض النطاق الرئيسي المجال \(\mu \pm 1\sigma\) الذي يضم قرابة 68% من المشاهدات، بينما يوسّع الجدول هذا المجال ليشمل نطاقي 95% و99.7%. وتذكّر أن هذه القاعدة لا تنطبق إلا على البيانات التي تتبع توزيعًا طبيعيًا تقريبًا.
شرح المعادلة
يُبنى كل نطاق من التعبير البسيط نفسه:
$$\mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma), \quad k = 1, 2, 3$$حيث تأخذ \(k\) القيمة 1 أو 2 أو 3. الحد الأدنى هو المتوسط مطروحًا منه حاصل ضرب \(k\) في الانحراف المعياري، والحد الأعلى هو المتوسط مضافًا إليه حاصل ضرب \(k\) في الانحراف المعياري. وكلما زادت قيمة \(k\) اتسع المجال وضمّ نسبة أكبر من البيانات.
$$\begin{gathered} \mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} 68\% &: \mu \pm 1\sigma \\ 95\% &: \mu \pm 2\sigma \\ 99.7\% &: \mu \pm 3\sigma \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
لنفترض أن درجات اختبار ما تتبع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 15. عندئذٍ تقع 68% من الدرجات بين 85 و115 (\(100 \pm 15\))، وتقع 95% منها بين 70 و130 (\(100 \pm 30\))، وتقع 99.7% بين 55 و145 (\(100 \pm 45\)). أي أن جميع الدرجات تقريبًا تنحصر بين 55 و145.
الأسئلة الشائعة
هل تنطبق القاعدة التجريبية دائمًا؟ لا — فهي تصلح فقط للبيانات الطبيعية تقريبًا (المتماثلة وذات الشكل الجرسي). أما البيانات الملتوية فيُفضّل معها استخدام متباينة تشيبيشيف.
لماذا هذه النسب تحديدًا: 68 و95 و99.7 بالمئة؟ تنبع هذه النسب من المساحة الواقعة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري ضمن انحراف واحد واثنين وثلاثة انحرافات معيارية عن المتوسط.
ماذا عن القيم التي تتجاوز \(3\sigma\)؟ نحو 0.3% فقط من البيانات يقع خارج ثلاثة انحرافات معيارية، لذا غالبًا ما تُعامل هذه المشاهدات على أنها نادرة أو قيم شاذة محتملة.
