Что такое правило трёх сигм?
Правило трёх сигм — его также называют правилом 68-95-99.7 или эмпирическим правилом — описывает, как распределяются данные в нормальном (колоколообразном) распределении. Согласно ему, примерно 68% значений попадают в пределы одного стандартного отклонения от среднего, около 95% — в пределы двух стандартных отклонений, и почти 99,7% — в пределы трёх стандартных отклонений. Этот калькулятор мгновенно превращает среднее (\(\mu\)) и стандартное отклонение (\(\sigma\)) в эти три интервала.
Как пользоваться калькулятором
Введите среднее значение вашего набора данных и его стандартное отклонение, а затем считайте три готовых интервала. В верхней строке показан интервал \(\mu \pm 1\sigma\), который охватывает около 68% наблюдений, а таблица расширяет его до интервалов 95% и 99,7%. Правило работает только для данных, которые распределены приблизительно нормально.
Разбор формулы
Каждый интервал строится по одному и тому же простому выражению: $$\mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma), \quad k = 1, 2, 3$$ где \(k\) равно 1, 2 или 3. Нижняя граница — это среднее минус \(k\) стандартных отклонений, а верхняя — среднее плюс \(k\) стандартных отклонений. Чем больше \(k\), тем шире интервал и тем большую долю данных он охватывает.
$$\begin{gathered} \mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} 68\% &: \mu \pm 1\sigma \\ 95\% &: \mu \pm 2\sigma \\ 99.7\% &: \mu \pm 3\sigma \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Пример с решением
Допустим, баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 15. Тогда 68% баллов попадают в диапазон от 85 до 115 (\(100 \pm 15\)), 95% — от 70 до 130 (\(100 \pm 30\)), а 99,7% — от 55 до 145 (\(100 \pm 45\)). То есть практически все баллы оказываются между 55 и 145.
Часто задаваемые вопросы
Всегда ли работает правило трёх сигм? Нет — оно применимо только к данным, близким к нормальному распределению (симметричным и колоколообразным). Для асимметричных данных используйте неравенство Чебышёва.
Почему именно 68, 95 и 99,7 процента? Эти доли соответствуют площади под кривой стандартного нормального распределения в пределах 1, 2 и 3 стандартных отклонений от среднего.
А что со значениями за пределами \(3\sigma\)? За тремя стандартными отклонениями находится лишь около 0,3% данных, поэтому такие наблюдения часто считают редкими или потенциальными выбросами.
