Что считает этот калькулятор
Этот инструмент описывает выборочное распределение выборочной доли (p̂). Если многократно извлекать случайные выборки объёма n из совокупности с истинной долей p, то получаемые выборочные доли сами образуют распределение. Калькулятор находит его среднее и стандартную ошибку — это нужно, чтобы строить доверительные интервалы, проверять статистические гипотезы и оценивать выборочную изменчивость.
Как пользоваться
Введите долю в совокупности p как десятичное число от 0 до 1 (например, 0,4 для 40 %), затем укажите объём выборки n. Калькулятор сразу выдаст среднее (которое равно p), дисперсию и стандартную ошибку (SE) выборочного распределения.
Разбор формулы
Среднее выборочного распределения равно доле в совокупности: $$\mu_{\hat{p}} = \text{p}$$ Стандартная ошибка показывает, насколько выборочные доли разбросаны вокруг p, и вычисляется по формуле $$\text{SE} = \sqrt{\frac{\text{p}\,(1 - \text{p})}{\text{n}}}$$ Чем больше выборка, тем меньше стандартная ошибка, а значит, оценка точнее. По центральной предельной теореме распределение приближённо нормально, когда одновременно \(n p \geq 10\) и \(n(1-p) \geq 10\).
Пример расчёта
Пусть \(p = 0{,}5\) и \(n = 100\). Тогда среднее равно 0,5. Дисперсия равна $$0{,}5 \times 0{,}5 / 100 = 0{,}0025$$ а стандартная ошибка — $$\sqrt{0{,}0025} = 0{,}05$$ То есть выборочные доли обычно попадают в диапазон примерно ±0,05 от 0,5.
Частые вопросы
Почему среднее равно p? Потому что выборочная доля — это несмещённая оценка доли в совокупности: в среднем она попадает точно в истинное значение.
Что происходит при росте n? Стандартная ошибка убывает пропорционально \(1/\sqrt{n}\), поэтому с увеличением выборки оценки становятся точнее.
Когда применимо нормальное приближение? Распространённое правило — \(n p \geq 10\) и \(n(1-p) \geq 10\); в иных случаях лучше использовать точные методы на основе биномиального распределения.
