樣本比例抽樣分布計算器

輸入計算

母體比例（p）

樣本大小（n）

結果

樣本比例的標準誤

0.05

p̂ 的標準誤

抽樣分布的平均數（μ_p̂ = p）	0.5
變異數（p(1−p)/n）	0.0025
標準誤	0.05

這個計算器的功能

這項工具用來描述樣本比例的抽樣分布（p̂）。當你從真實比例為 p 的母體中，反覆抽取大小為 n 的隨機樣本時，所得到的眾多樣本比例會自成一個分布。本計算器會算出這個分布的平均數與標準誤，方便你建立信賴區間、進行假設檢定，或評估抽樣的變異程度。

如何使用

請將母體比例 p 以 0 到 1 之間的小數輸入（例如 40% 就填 0.4），接著輸入樣本大小 n。計算器會立即顯示抽樣分布的平均數（等於 p）、變異數，以及標準誤（SE）。

公式說明

抽樣分布的平均數等於母體比例：$$\mu_{\hat{p}} = \text{p}$$標準誤衡量的是樣本比例在 \(p\) 附近的波動幅度，公式為 $$\text{SE} = \sqrt{\frac{\text{p}\,(1 - \text{p})}{\text{n}}}$$樣本愈大，標準誤就愈小，估計也就愈精確。根據中央極限定理，當 \(np \geq 10\) 且 \(n(1-p) \geq 10\) 時，這個分布會近似常態分布。

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樣本比例的抽樣分布以 p 為中心，離散程度等於標準誤差。

實際範例

假設 \(p = 0.5\)、\(n = 100\)。平均數為 0.5；變異數為 $$0.5 \times 0.5 / 100 = 0.0025$$標準誤則為 $$\sqrt{0.0025} = 0.05$$因此，樣本比例通常會落在 0.5 上下約 ±0.05 的範圍內。

常見問題

為什麼平均數會等於 p？因為樣本比例是母體比例的不偏估計量——平均而言，它會準確命中真實值。

n 變大時會怎樣？標準誤會以 \(1/\sqrt{n}\) 的比例下降，所以樣本愈大，估計就愈精確。

常態近似在什麼情況下成立？常見準則是 \(np \geq 10\) 且 \(n(1-p) \geq 10\)；若不符合，建議改用精確的二項分布方法。