什麼是瑞利分布？
瑞利分布（Rayleigh distribution）是一種針對非負數值的連續機率分布，僅由單一尺度參數 \(\sigma\)（sigma）決定。它最自然的來源，是兩個彼此獨立、均值為零、變異數相同的常態隨機變數所構成之二維向量的長度（大小）。瑞利分布在許多領域都很常見，例如訊號處理（衰落通道）、風速建模、MRI 雜訊分析，以及可靠度工程。
如何使用這個計算器
請輸入想計算密度與累積機率的數值 x，以及尺度參數 \(\sigma\)。計算器會回傳機率密度 PDF \(f(x)\)、累積分布 CDF \(F(x)\)，以及該分布的平均值、變異數、中位數與眾數。x 與 \(\sigma\) 皆必須為非負數，且 \(\sigma\) 必須大於零。
公式說明
當 \(x \ge 0\) 時，機率密度為 $$f(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}\, \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$ 累積分布為 $$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$ 主要的摘要統計量為：平均值 \(\mu = \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\)、變異數 \(\sigma_{x}^{2} = \frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2}\)、中位數 \(\sigma\sqrt{2\ln 2}\)、眾數 \(\sigma\)。值得注意的是，眾數恰好等於 \(\sigma\)——密度的峰值永遠落在 \(x = \sigma\) 的位置。
實際範例
假設 \(\sigma = 1\)、\(x = 2\)。則 \(\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{4}{2} = 2\)，因此 \(e^{-2} \approx 0.135335\)。PDF 為 \(\frac{2}{1} \cdot 0.135335 = 0.270671\)；CDF 為 \(1 - 0.135335 = 0.864665\)。平均值為 \(\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1.253314\)，變異數為 \(\frac{4-\pi}{2} \approx 0.429204\)，中位數為 \(\sqrt{2\ln 2} \approx 1.177410\)，眾數為 \(1\)。
常見問題
瑞利分布有定義在負的 x 嗎？沒有。它只在 \(x \ge 0\) 的範圍內有定義；對於負值，密度為零。
\(\sigma\) 與平均值有什麼關係？平均值會隨 \(\sigma\) 線性變化：\(\mu = \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1.2533\,\sigma\)。
它與常態分布之間有什麼關聯？若 \(X\) 與 \(Y\) 為彼此獨立且服從 \(N(0, \sigma^{2})\) 的隨機變數，則 \(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\) 會服從尺度參數為 \(\sigma\) 的瑞利分布。
