Rayleigh dağılımı nedir?
Rayleigh dağılımı, negatif olmayan değerler için tanımlı sürekli bir olasılık dağılımıdır ve tek bir ölçek parametresi olan \(\sigma\) (sigma) ile belirlenir. Bileşenleri birbirinden bağımsız, ortalaması sıfır ve varyansları eşit olan normal rastgele değişkenlerden oluşan iki boyutlu bir vektörün büyüklüğü olarak doğal biçimde ortaya çıkar. Sinyal işleme (sönümlemeli kanallar), rüzgâr hızı modellemesi, MR görüntülemedeki gürültü ve güvenilirlik mühendisliği gibi alanlarda yaygın olarak kullanılır.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Yoğunluk ve kümülatif olasılığı bulmak istediğiniz x değerini ve \(\sigma\) ölçek parametresini girin. Araç size yoğunluk fonksiyonu \(f(x)\)'i, dağılım fonksiyonu \(F(x)\)'i ve dağılımın ortalama, varyans, medyan ve mod değerlerini verir. Hem x hem de \(\sigma\) negatif olmamalı, ayrıca \(\sigma\) sıfırdan büyük olmalıdır.
Formüllerin açıklaması
Olasılık yoğunluk fonksiyonu, \(x \ge 0\) için
$$f(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}\, \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$şeklindedir. Kümülatif dağılım fonksiyonu ise
$$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$olarak verilir. Temel özet istatistikler şunlardır:
$$\begin{aligned} \mu &= \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \\[0.4em] \sigma_{x}^{2} &= \frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2} \\[0.4em] \text{Mode} &= \sigma \\[0.4em] \text{Median} &= \sigma\sqrt{2\ln 2} \end{aligned}$$Modun tam olarak \(\sigma\)'ya eşit olduğuna dikkat edin — yoğunluğun tepe noktası her zaman \(x = \sigma\) konumundadır.
Çözümlü örnek
\(\sigma = 1\) ve \(x = 2\) olsun. Bu durumda \(x^{2}/(2\sigma^{2}) = 4/2 = 2\), dolayısıyla \(e^{-2} \approx 0{,}135335\) olur. PDF \((2/1)\cdot 0{,}135335 = 0{,}270671\) olarak bulunur. CDF ise \(1 - 0{,}135335 = 0{,}864665\)'tir. Ortalama \(\sqrt{\pi/2} \approx 1{,}253314\), varyans \((4-\pi)/2 \approx 0{,}429204\), medyan \(\sqrt{2\ln 2} \approx 1{,}177410\) ve mod 1'dir.
Sık sorulan sorular
Rayleigh dağılımı negatif x değerleri için tanımlı mıdır? Hayır. Yalnızca \(x \ge 0\) aralığında tanımlıdır; negatif değerlerde yoğunluk sıfırdır.
\(\sigma\) ile ortalama arasındaki ilişki nedir? Ortalama, \(\sigma\) ile doğrusal olarak orantılıdır: \(\mu = \sigma\cdot\sqrt{\pi/2} \approx 1{,}2533\cdot\sigma\).
Normal dağılımla ilişkisi nedir? \(X\) ve \(Y\) birbirinden bağımsız \(N(0, \sigma^{2})\) dağılımına sahipse, \(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\) ifadesi \(\sigma\) ölçekli bir Rayleigh dağılımına uyar.
