Beta Dağılımı Hesaplayıcı

Ortalama	0,285714
Varyans	0,02551
Standart Sapma	0,159719
Mod	0,2

Beta Dağılımı Nedir?

Beta dağılımı, [0, 1] aralığında tanımlı sürekli bir olasılık dağılımıdır ve α (alfa) ile β (beta) olmak üzere iki pozitif şekil parametresiyle yönetilir. Birim aralık üzerinde tanımlı olduğu için oranları, olasılıkları, yüzdeleri ve hızları modellemek için en doğal seçimdir; örneğin bir dönüşüm oranı, bir vuruş ortalaması veya Bayes çıkarımında bilinmeyen başarı olasılığı için kullanılır (binom dağılımının eşlenik öncülüdür).

0 ile 1 aralığında farklı şekil parametrelerine sahip birkaç Beta dağılımı olasılık yoğunluk eğrisi — Beta dağılımı [0,1] üzerinde tanımlıdır ve α ile β'ye göre şekil değiştirir.

Bu Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?

İki şekil parametresi olan $\alpha$ ve $\beta$ değerlerini (ikisi de 0'dan büyük olmalı) ve 0 ile 1 arasında bir $x$ değeri girin. Hesaplayıcı, o noktadaki $f(x)$ olasılık yoğunluğunun yanı sıra dağılımın ortalamasını, varyansını, standart sapmasını ve modunu döndürür. Daha büyük $\alpha$ değeri kütleyi 1'e doğru iter; daha büyük $\beta$ değeri kütleyi 0'a doğru iter; eşit değerler ise dağılımı 0,5 etrafında simetrik yapar.

Formülün Açıklaması

Ortalama $$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta},$$ varyans ise $$\sigma^2 = \frac{\alpha\,\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}$$ şeklindedir. Olasılık yoğunluğu $$f(\text{x};\,\alpha,\beta) = \frac{\text{x}^{\,\alpha-1}\left(1-\text{x}\right)^{\beta-1}}{B\!\left(\alpha,\beta\right)}$$ olarak verilir; burada $B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}$ ifadesi, eğrinin altındaki toplam alanın 1'e eşit olmasını sağlayan normalize edici Beta fonksiyonudur. Mod (tepe noktası), hem $\alpha$ hem de $\beta$ değeri 1'den büyük olduğunda $$\text{Mode} = \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$$ noktasında bulunur.

Reklam

Beta PDF formülünün bileşenlerini gösteren diyagram — Yoğunluk; $\text{x}^{\alpha-1}$, $(1-\text{x})^{\beta-1}$ ve normalleştirici Beta fonksiyonu $B(\alpha,\beta)$'yi birleştirir.

Çözümlü Örnek

$\alpha = 2$, $\beta = 5$, $x = 0{,}5$ alalım. Ortalama $\frac{2}{7} \approx 0{,}2857$ olur. Varyans $$\frac{2\cdot 5}{(7^2)(8)} = \frac{10}{392} \approx 0{,}02551$$ dir. $B(2, 5) = \frac{1}{30}$ olduğundan, yoğunluk $$f(0{,}5) = 0{,}5^1 \cdot 0{,}5^4 \cdot 30 = 0{,}5^5 \cdot 30 = 0{,}03125 \cdot 30 = 0{,}9375$$ olarak hesaplanır.

Şekil Parametreleri Dağılımı Nasıl Değiştirir

Beta dağılımı $[0,1]$ aralığında yaşar ve tüm şekli iki pozitif şekil parametresi $\alpha$ ve $\beta$ tarafından kontrol edilir. Ortalama her zaman $\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$, varyans $\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ ve mod ($\alpha,\beta>1$ olduğunda) $\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ dir. Aşağıdaki tablo birkaç klasik parametre çiftini göstermektedir.

(α, β)	Şekil	Ortalama = α/(α+β)	Mod	Varyans
(1, 1)	[0,1] üzerinde Düzgün (düz)	0.5	hiçbiri (düz)	0.0833
(0.5, 0.5)	U-şekilli (her iki uçta kütle, arcsine)	0.5	0 ve 1 (antimolar)	0.1250
(2, 2)	Simetrik zil şekli, merkezde doruk	0.5	0.5	0.0500
(5, 5)	Daha sıkı simetrik zil	0.5	0.5	0.0227
(2, 5)	Sağa çarpık (0'a doğru kütle)	0.2857	0.2	0.0255
(5, 2)	Sola çarpık (1'e doğru kütle)	0.7143	0.8	0.0255

İki örüntü öne çıkıyor. Birincisi, $\alpha$ ve $\beta$ değerlerini değiştirmek dağılımı $x=0.5$ hakkında aynalar, bu nedenle (2,5) ve (5,2) aynı şekle ve varyansa sahip ancak zıt çarpıklığa sahiptir. İkincisi, her iki parametreyi artırırken oranlarını sabit tutmak (örneğin (2,2) $\to$ (5,5)) ortalamayı 0.5'te tutar ancak varyansı küçültür, eğriyi ortalama etrafında daha sıkı bir şekilde yoğunlaştırır.

Beta Sonucunuzu Yorumlama

Beta dağılımı $[0,1]$ üzerinde desteklendiği için, bilinmeyen bir oran, olasılık veya hız için doğal modeldir. Her özet istatistiği farklı bir soruyu cevaplar:

Ortalama $\mu=\alpha/(\alpha+\beta)$ beklenen orandır — temel olasılık hakkında en iyi tek sayılı tahmininiz.
Mod $(\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)$ en olası değerdir, yani yoğunluk zirvesinin konumudur. $\alpha>1$ ve $\beta>1$ olduğunda iç bir zirve olarak var olur; aksi takdirde kütle bir uçta birikir.
Varyans ve standart sapma yayılımı ölçer veya oran hakkında ne kadar belirsizlik kaldığını gösterir. Küçük bir SD, gerçek değerin ortalamaya yakın olduğundan emin olduğunuz anlamına gelir.

$\alpha+\beta$ miktarı bir örnek büyüklüğü veya yoğunlaşma gibi davranır: ne kadar büyükse, varyans o kadar küçük olur ve yoğunluk ortalama etrafında o kadar keskin bir şekilde yoğunlaşır. İki dağılım aynı ortalamayı paylaşabilir ancak çok farklı kesinliğe sahip olabilir — Beta(2,2) ve Beta(50,50) her ikisi de 0.5'te merkezlenmiş ancak ikincisi çok daha dar.

Bayesçi çıkarımda Beta binom (Bernoulli) olabilirliği için eşlenik önceldir. Beta($\alpha_0,\beta_0$) öncel ile başlayıp $s$ başarı ve $f$ başarısızlık gözlemlerseniz, sonsal sadece Beta($\alpha_0+s,\ \beta_0+f$)'dir. Düzgün Beta(1,1) önceli ile, $\alpha$ etkin bir şekilde başarıları +1 sayar ve $\beta$ başarısızlıkları +1 sayar; sonsal ortalama $(s+1)/(s+f+2)$ klasik ardıllık kuralıdır.

Son olarak, $f(x)$'in bir olasılık yoğunluğu olduğunu, olasılık değildir. Değeri 1'i aşabilir (örneğin sıkı bir şekilde yoğunlaştırılmış bir Beta'nın zirvesi yakınında) ve yalnızca eğri altındaki alan iki nokta arasında — asla tek bir noktada yükseklik değil — gerçek bir olasılık verir. $[0,1]$ üzerindeki toplam alan her zaman 1'e eşittir.

Reklam

Tanımlar ve Sözlük

α (alfa): İlk şekil parametresi, $\alpha>0$. Gevşek olarak "başarılar"ın ağırlığını temsil eder; daha büyük $\alpha$ kütleyi 1'e doğru iter.
β (beta): İkinci şekil parametresi, $\beta>0$. Gevşek olarak "başarısızlıklar"ın ağırlığını temsil eder; daha büyük $\beta$ kütleyi 0'a doğru iter.
OYF f(x): Olasılık yoğunluk işlevi, $f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$ $0\le x\le 1$ için. Göreceli olabilirliği açıklar; olasılıklar altındaki alanlar.
Beta işlevi B(α,β): Normalleştirme sabiti, $B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$. Buna bölmek yoğunluğu 1'e integre eder.
Gama işlevi Γ: Faktöryelin sürekli bir uzantısı, pozitif tam sayılar için $\Gamma(n)=(n-1)!$, genel olarak $\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$ ile tanımlanır. Yukarıdaki Beta ve Gama işlevlerini birbirine bağlar.
Ortalama: Beklenen değer, $\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ — uzun vadeli ortalama oran.
Varyans: Bir yayılım ölçüsü, $\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$.
Standart sapma: Varyansın karekökü, $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$, $x$ ile aynı birimlerde ifade edilir.
Mod: En olası değer (yoğunluğun zirvesi), $\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ $\alpha>1$ ve $\beta>1$ olduğunda.
Eşlenik öncel: Belirli bir olabilirlikle birleştirildiğinde aynı ailede bir sonsal verir öncel dağılımı. Beta, binom/Bernoulli olabilirliği için eşlenik önceldedir.
Destek [0,1]: Rastgele değişkenin alabileceği değerler aralığı. Beta dağılımı yalnızca kapalı $[0,1]$ aralığında tanımlanır, bu da onu oranlar ve olasılıklar için ideal kılar.

Sıkça Sorulan Sorular

$\alpha$ veya $\beta$ değeri 1'den küçük olabilir mi? Evet — 1'den küçük değerler, yoğunluğun uç noktalara doğru hızla yükseldiği U veya J şeklinde bir eğri oluşturur. Bu durumda sınırlardaki yoğunluk sınırsız olabilir.

Beta dağılımı ne zaman düzgün (uniform) olur? $\alpha = \beta = 1$ olduğunda OYF düzdür ve [0, 1] aralığının her noktasında 1'e eşittir — bu, düzgün dağılımla aynıdır.

x neden 0 ile 1 arasında kalmalı? Beta dağılımının [0, 1] aralığı dışındaki yoğunluğu sıfırdır; bu nedenle bu aralığın dışındaki değerler OYF için tanımsızdır.