Gama Dağılımı Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

Şekil parametresi (k):

Ölçek parametresi (θ):

X değeri:

Formül

Show calculation steps (3)

1. Gamma Cumulative Distribution Function (CDF)

   

   γ is the lower incomplete gamma function; k = Shape, θ = Scale

2. Mean

   

   Mean = Shape × Scale

3. Variance

   

   Variance = Shape × Scale²

Sonuç

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (PDF): 0,36787944

Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (CDF): 0,26424112

Girdi Parametreleri	Değer
Şekil parametresi (k)	2
Ölçek parametresi (θ)	1
X değeri	1

Diğer Hesaplanan Sonuçlar	Değer
Ortalama	2
Varyans	2
Mod	1
Çarpıklık	1,4142
Basıklık	3

Bu Araç Ne İşe Yarar?

Gama Dağılımı Hesaplama Aracı; bir şekil parametresi (k) ve bir ölçek parametresi (θ) kullanarak, seçtiğiniz X noktasında gama dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) ve kümülatif dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplar. PDF ve CDF'nin yanı sıra dağılımın ortalamasını, varyansını, modunu, çarpıklığını ve basıklığını da verir; böylece yalnızca üç basit girdiyle eksiksiz bir istatistiksel tablo elde edersiniz. Gama dağılımı; bekleme sürelerini, yağış miktarlarını, sigorta hasar tutarlarını ve diğer sürekli, pozitif değerli büyüklükleri modellemekte yaygın olarak kullanılır.

Gamma PDF'i, k ve θ değerlerine göre sağa çarpık farklı şekiller alır.

Üç Temel Girdi

• Şekil parametresi (k): Eğrinin biçimini belirler. Küçük k değerleri dik bir düşüş gösteren bir şekil verir; daha büyük k değerleri ise eğriyi çan biçimine yaklaştırır.
• Ölçek parametresi (θ): Dağılımı x ekseni boyunca genişletir. θ büyüdükçe olasılık daha yüksek değerlere yayılır.
• X değeri: Yoğunluğun ve kümülatif olasılığın hesaplandığı nokta.

Formül

Hesaplama aracının kullandığı PDF şöyledir:

$$f(x) = \frac{x^{\,k-1}\,e^{-x/\theta}}{\theta^{k}\,\Gamma(k)}$$

Burada \(\Gamma(k)\) gama fonksiyonudur. CDF, bu yoğunluğun 0'dan X'e kadar olan integralidir ve düzenlenmiş alt eksik gama fonksiyonu (regularised lower incomplete gamma) ile hesaplanır. Hesaplama aracı ayrıca özet istatistikleri doğrudan parametrelerden türetir:

• Ortalama = \(k\cdot\theta\)
• Varyans = \(k\cdot\theta^{2}\)
• Mod = \((k-1)\cdot\theta\) olduğunda \(k > 1\), aksi hâlde \(0\)
• Çarpıklık = \(2/\sqrt{k}\)
• Basıklık (fazlalık) = \(6/k\)

Reklam

CDF, eğrinin altında X'in solunda kalan taranmış alandır.

Örnek Hesaplama

Diyelim ki \(k = 2\), \(\theta = 3\) ve \(X = 4\). PDF değeri $$f(4) = \frac{4^{1} \cdot e^{-4/3}}{3^{2} \cdot \Gamma(2)} = \frac{4 \cdot 0{,}2636}{9} \approx 0{,}117$$ olur. X = 4 noktasındaki CDF yaklaşık 0,385'tir; yani değişkenin 4 veya daha düşük bir değer alma olasılığı kabaca %38,5'tir. Ortalama \(2 \times 3 = 6\), varyans \(2 \times 3^{2} = 18\), mod \((2-1) \times 3 = 3\), çarpıklık \(2/\sqrt{2} \approx 1{,}414\) ve fazlalık basıklık \(6/2 = 3\)'tür.

Sıkça Sorulan Sorular

Bu araç ölçek mi yoksa oran (rate) parametreleştirmesi mi kullanıyor? Hesaplama aracı ölçek biçimini (θ) kullanır. Elinizde bir oran parametresi β varsa, girmeden önce \(\theta = 1/\beta\) formülüyle dönüştürün.

Hangi değerler geçerlidir? Hem k hem de θ pozitif olmalıdır; X ise 0 veya daha büyük olmalıdır, çünkü gama dağılımı yalnızca negatif olmayan değerler için tanımlıdır.

Gama dağılımının üstel ve ki-kare dağılımlarıyla ilişkisi nedir? \(k = 1\) olduğunda gama dağılımı, ortalaması θ olan bir üstel dağılıma indirgenir. v serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımı ise \(k = v/2\) ve \(\theta = 2\) olan bir gama dağılımıdır.