這個計算機的功能
Gamma 分布計算機會根據您指定的形狀參數 k 與尺度參數 θ，計算 Gamma 分布在某一點 X 的機率密度函數 (PDF) 與累積分布函數 (CDF)。除了 PDF 與 CDF 之外，它還會一併呈現該分布的平均數、變異數、眾數、偏態與峰態，讓您只需輸入三個簡單數值，就能掌握完整的統計輪廓。Gamma 分布廣泛應用於建模等待時間、降雨量、保險理賠金額，以及其他連續且為正值的數量。
三個輸入值
- 形狀參數 (k)：決定曲線的形態。k 較小時曲線會急遽下降；k 較大時則愈接近鐘形。
- 尺度參數 (θ)：沿著 x 軸拉伸分布。θ 愈大，機率就分散到愈高的數值範圍。
- X 值：計算密度與累積機率所評估的那一個點。
計算公式
本計算機使用的 PDF 為：
$$f(x) = \frac{x^{\,k-1}\,e^{-x/\theta}}{\theta^{k}\,\Gamma(k)}$$其中 \(\Gamma(k)\) 為 Gamma 函數。CDF 則是此密度函數從 0 到 X 的積分，透過正規化的下不完全 Gamma 函數計算得出。計算機也會直接由參數推導出以下摘要統計量：
- 平均數 = \(k\cdot\theta\)
- 變異數 = \(k\cdot\theta^{2}\)
- 眾數 = 當 \(k > 1\) 時為 \((k-1)\cdot\theta\)，否則為 0
- 偏態 = \(2/\sqrt{k}\)
- 峰態（超額峰態）= \(6/k\)
範例試算
假設 k = 2、θ = 3、X = 4。PDF 為 $$f(4) = \frac{4^{1}\cdot e^{-4/3}}{3^{2}\cdot\Gamma(2)} = \frac{4\cdot 0.2636}{9} \approx 0.117$$ X = 4 處的 CDF 約為 0.385，代表該變數落在 4（含）以下的機率約為 38.5%。平均數為 \(2\times 3 = 6\)，變異數為 \(2\times 3^{2} = 18\)，眾數為 \((2-1)\times 3 = 3\)，偏態為 \(2/\sqrt{2}\approx 1.414\)，超額峰態為 \(6/2 = 3\)。
常見問題
這是尺度參數還是率參數的版本？本計算機採用尺度參數 (θ) 的形式。如果您手上的是率參數 β，請先用 \(\theta = 1/\beta\) 換算後再輸入。
哪些數值才有效？k 與 θ 都必須為正值，而 X 應大於或等於 0，因為 Gamma 分布僅在非負數值範圍內有定義。
Gamma 分布與指數分布、卡方分布有何關係？當 k = 1 時，Gamma 分布會退化為平均數為 θ 的指數分布。自由度為 v 的卡方分布，則相當於 k = v/2、θ = 2 的 Gamma 分布。
