这个计算器能做什么
伽马分布计算器会根据你设定的形状参数 k 和尺度参数 θ，计算伽马分布在指定点 X 处的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）。除了 PDF 和 CDF 之外，它还会一并给出该分布的均值、方差、众数、偏度和峰度，让你仅凭三个简单的输入就能掌握分布的完整统计画像。伽马分布在实际中应用广泛，常用于描述等待时间、降雨量、保险理赔金额等取值为正的连续型变量。
三个输入参数
- 形状参数（k）：决定曲线的形态。k 较小时曲线下降陡峭；k 较大时曲线更接近钟形。
- 尺度参数（θ）：沿 x 轴拉伸分布。θ 越大，概率越向较大的取值一侧分散。
- X 值：需要计算密度和累积概率的具体取值点。
计算公式
本计算器使用的概率密度函数（PDF）为：
$$f(x) = \frac{x^{\,k-1}\,e^{-x/\theta}}{\theta^{k}\,\Gamma(k)}$$其中 \(\Gamma(k)\) 是伽马函数。CDF 是该密度从 0 到 X 的积分，通过正则化下不完全伽马函数计算得到。此外，计算器还会直接根据参数推导出以下统计量：
- 均值 \(= k\cdot\theta\)
- 方差 \(= k\cdot\theta^{2}\)
- 众数 \(=\) 当 \(k > 1\) 时为 \((k-1)\cdot\theta\)，否则为 0
- 偏度 \(= 2/\sqrt{k}\)
- 峰度（超额峰度）\(= 6/k\)
实例演算
假设 \(k = 2\)、\(\theta = 3\)、\(X = 4\)。此时 PDF 为 $$f(4) = \frac{4^{1}\cdot e^{-4/3}}{3^{2}\cdot\Gamma(2)} = \frac{4\cdot 0.2636}{9} \approx 0.117$$ 在 \(X = 4\) 处的 CDF 约为 0.385，也就是说变量取值小于或等于 4 的概率大约为 38.5%。均值为 \(2 \times 3 = 6\)，方差为 \(2 \times 3^{2} = 18\)，众数为 \((2-1) \times 3 = 3\)，偏度为 \(2/\sqrt{2} \approx 1.414\)，超额峰度为 \(6/2 = 3\)。
常见问题
这里用的是尺度参数还是率参数？ 本计算器采用尺度形式（θ）。如果你手上是率参数 β，请先用 \(\theta = 1/\beta\) 换算后再输入。
哪些取值是有效的？ k 和 θ 都必须为正数，X 应当大于或等于 0，因为伽马分布只在非负取值上有定义。
伽马分布与指数分布、卡方分布有何关系？ 当 \(k = 1\) 时，伽马分布退化为均值为 θ 的指数分布；自由度为 v 的卡方分布则相当于 \(k = v/2\)、\(\theta = 2\) 的伽马分布。
