ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب حاسبة توزيع جاما دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) والدالة التوزيعية التراكمية (CDF) لتوزيع جاما عند نقطة محددة X، بالاعتماد على معامل الشكل k ومعامل المقياس θ. وإلى جانب قيمتي PDF وCDF، تعرض الحاسبة كذلك المتوسط والتباين والمنوال ومعامل الالتواء ومعامل التفلطح للتوزيع، لتمنحك صورة إحصائية متكاملة انطلاقًا من ثلاث مدخلات بسيطة فقط. ويُستخدم توزيع جاما على نطاق واسع لنمذجة أوقات الانتظار، وكميات الأمطار، وأحجام مطالبات التأمين، وغيرها من الكميات المستمرة ذات القيم الموجبة.
المدخلات الثلاثة
- معامل الشكل (k): يتحكم في شكل المنحنى. فالقيم الصغيرة لـ \(k\) تنتج منحنى سريع التناقص، بينما القيم الأكبر تجعله أقرب إلى الشكل الجرسي.
- معامل المقياس (θ): يمدّ التوزيع على طول المحور الأفقي. فكلما زادت قيمة \(\theta\) توزّعت الاحتمالية على قيم أعلى.
- قيمة X: النقطة التي تُحسب عندها الكثافة والاحتمالية التراكمية.
الصيغة الرياضية
دالة الكثافة الاحتمالية التي تعتمدها الحاسبة هي:
$$f(\text{x}) = \frac{\text{x}^{\,k-1}\,e^{-\text{x}/\theta}}{\theta^{k}\,\Gamma(k)}$$حيث \(\Gamma(k)\) هي دالة جاما. أما الدالة التراكمية CDF فهي تكامل هذه الكثافة من 0 إلى X، وتُحسب عبر دالة جاما غير الكاملة السفلية المنظّمة. كما تستخرج الحاسبة المؤشرات الإحصائية الموجزة مباشرةً من المعاملات:
- المتوسط \(= k\cdot\theta\)
- التباين \(= k\cdot\theta^{2}\)
- المنوال \(= (k-1)\cdot\theta\) عندما يكون \(k > 1\)، وإلا فإنه يساوي 0
- الالتواء \(= 2/\sqrt{k}\)
- التفلطح (الزائد) \(= 6/k\)
مثال تطبيقي
لنفترض أن \(k = 2\) وθ = 3 وX = 4. تكون دالة الكثافة $$f(4) = \frac{4^{1}\cdot e^{-4/3}}{3^{2}\cdot\Gamma(2)} = \frac{4\cdot 0.2636}{9} \approx 0.117.$$ أما الدالة التراكمية عند X = 4 فتبلغ نحو 0.385، أي ما يعني احتمالًا يقارب 38.5% بأن يقع المتغير عند 4 أو أقل منها. ويبلغ المتوسط \(2 \times 3 = 6\)، والتباين \(2 \times 3^{2} = 18\)، والمنوال \((2-1) \times 3 = 3\)، والالتواء \(2/\sqrt{2} \approx 1.414\)، والتفلطح الزائد \(6/2 = 3\).
الأسئلة الشائعة
هل تعتمد الحاسبة على معامل المقياس أم معامل المعدّل؟ تعتمد الحاسبة على صيغة المقياس (θ). فإذا كان لديك معامل المعدّل β، فحوّله إلى مقياس عبر العلاقة \(\theta = 1/\beta\) قبل إدخاله.
ما القيم الصحيحة المسموح بها؟ يجب أن يكون كلٌّ من \(k\) وθ موجبًا، أما X فينبغي أن يكون 0 أو أكبر، لأن توزيع جاما معرّف فقط عند القيم غير السالبة.
ما علاقة توزيع جاما بالتوزيع الأسي وتوزيع مربع كاي؟ عندما يكون \(k = 1\) يتحول توزيع جاما إلى توزيع أسي بمتوسط يساوي θ. كما أن توزيع مربع كاي بدرجات حرية v ما هو إلا توزيع جاما بمعاملين \(k = v/2\) وθ = 2.
