這個計算器的功能
「Gamma 分佈圖形計算器」會在一連串 x 值組成的網格上計算 Gamma 分佈，並在每個點傳回三個相關數值：機率密度 \(f(x)\)、下累積機率 \(P(x)\)，以及上累積（生存）機率 \(Q(x)\)。Gamma 分佈是一種定義於 \(x > 0\) 的連續分佈，廣泛應用於可靠度工程、排隊模型、降雨量建模與貝氏統計。本計算器採用尺度參數化方式（形狀 \(a\)、尺度 \(b\)），而非速率參數化方式。
需要輸入的項目
- 函數選擇——選擇要計算的曲線：密度 \(f\)、下累積 \(P\) 或上累積 \(Q\)。
- 形狀參數 \(a\)——必須為正值；控制曲線的偏態與峰值。
- 尺度參數 \(b\)——必須為正值；會沿 x 軸方向拉伸分佈（平均值 \(= a\cdot b\)）。
- x 的起始值——網格的起點。
- x 的增量（步長）——相鄰兩個 x 值之間的間距。
- 重複次數（點數）——要產生多少個網格點（上限為 10,000）。
若 \(a\) 或 \(b\) 為非正值，會被夾限為一個極小值；步長 \(\le 0\) 時預設為 0.1；點數則會被強制限制在 1～10,000 的範圍內。
計算公式
機率密度函數為：
$$f(x, a, b) = \frac{x^{\,a-1}\,e^{-x/b}}{\Gamma(a)\cdot b^{\,a}}$$下累積 \(P(x)\) 即正規化不完全 Gamma 函數 \(P(a, x/b)\)：當 \(x/b < a+1\) 時以級數展開計算，否則改用連分數計算。上累積（生存）函數為 \(Q(x) = 1 - P(x)\)。Gamma 函數 \(\Gamma(a)\) 則以對數形式的 Lanczos 近似法求得，以確保數值穩定。
實例演算
假設 \(a = 2\)、\(b = 1\)、起始 \(x = 0\)、步長 \(= 1\)，共 4 個點（\(x = 0, 1, 2, 3\)）。在 \(x = 2\) 時的密度為 $$f = \frac{2^{1}\cdot e^{-2}}{\Gamma(2)\cdot 1} = \frac{2\cdot 0.1353}{1} = 0.2707$$ \(x = 2\) 處的下累積為 \(P(2, 2) \approx 0.5940\)，因此生存機率 \(Q(2) \approx 0.4060\)。每個網格點都會傳回這些數值，可直接繪製成平滑曲線。
常見問題
這是使用尺度還是速率？本計算器使用尺度參數 \(b\)。若您手上的資料是速率 \(\lambda\)，請設定 \(b = 1/\lambda\)。
P 與 Q 有什麼差別？\(P(x)\) 是變數小於或等於 \(x\) 的機率（由左側累積）；\(Q(x) = 1 - P(x)\) 則是超過 \(x\) 的機率，通常稱為生存函數。
為什麼 \(a\) 與 \(b\) 必須為正值？Gamma 分佈僅在形狀與尺度為正值時才有定義。非正值的輸入會被替換成接近零的數值以避免錯誤，但為了得到有意義的結果，請務必輸入有效的正數。
