यह कैलकुलेटर क्या करता है
गामा वितरण ग्राफ कैलकुलेटर x-मानों के एक ग्रिड पर गामा वितरण का मूल्यांकन करता है और हर बिंदु पर तीन संबंधित मान देता है: संभाव्यता घनत्व \(f(x)\), निचली संचयी संभाव्यता \(P(x)\) और ऊपरी संचयी (सर्वाइवल) संभाव्यता \(Q(x)\)। गामा वितरण एक सतत वितरण है जो \(x > 0\) के लिए परिभाषित होता है और इसका व्यापक उपयोग विश्वसनीयता इंजीनियरिंग, क्यूइंग मॉडल, वर्षा मॉडलिंग और बेज़ियन सांख्यिकी में होता है। यह कैलकुलेटर स्केल पैरामीटरीकरण (शेप \(a\), स्केल \(b\)) का उपयोग करता है, रेट पैरामीटरीकरण का नहीं।
आप जो इनपुट देते हैं
- फलन का चयन — चुनें कि कौन-सा वक्र निकालना है: घनत्व \(f\), निचला संचयी \(P\), या ऊपरी संचयी \(Q\)।
- शेप पैरामीटर \(a\) — धनात्मक होना चाहिए; यह वक्र की विषमता और शिखर को नियंत्रित करता है।
- स्केल पैरामीटर \(b\) — धनात्मक होना चाहिए; यह वितरण को x-अक्ष के साथ खींचता है (माध्य = \(a\cdot b\))।
- x का प्रारंभिक मान — ग्रिड का शुरुआती बिंदु।
- x की वृद्धि (स्टेप) — क्रमागत x-मानों के बीच का अंतराल।
- दोहराव संख्या (बिंदु) — कितने ग्रिड बिंदु बनाने हैं (अधिकतम 10,000)।
यदि \(a\) या \(b\) धनात्मक नहीं हैं तो उन्हें एक बहुत छोटे मान पर सीमित कर दिया जाता है, स्टेप ≤ 0 होने पर वह डिफ़ॉल्ट रूप से 0.1 हो जाता है, और बिंदुओं की संख्या को 1–10,000 की सीमा में रखा जाता है।
सूत्र
संभाव्यता घनत्व फलन इस प्रकार है:
$$f(x, a, b) = \frac{x^{\,a-1}\,e^{-x/b}}{\Gamma(a)\cdot b^{\,a}}$$
निचली संचयी \(P(x)\) नियमित अपूर्ण गामा फलन \(P(a, x/b)\) है, जिसे \(x/b < a+1\) होने पर श्रेणी विस्तार (series expansion) से और अन्यथा सतत भिन्न (continued fraction) से निकाला जाता है। ऊपरी संचयी (सर्वाइवल) \(Q(x) = 1 - P(x)\)। गामा फलन \(\Gamma(a)\) को संख्यात्मक स्थिरता के लिए लॉग रूप में Lanczos सन्निकटन से प्राप्त किया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 2\), \(b = 1\), प्रारंभिक \(x = 0\), स्टेप = 1, और 4 बिंदु (\(x = 0, 1, 2, 3\))। \(x = 2\) पर घनत्व $$f = \frac{2^{1}\cdot e^{-2}}{\Gamma(2)\cdot 1} = \frac{2\cdot 0.1353}{1} = 0.2707$$ होता है। \(x = 2\) पर निचला संचयी \(P(2, 2) \approx 0.5940\) है, इसलिए सर्वाइवल संभाव्यता \(Q(2) \approx 0.4060\) होगी। हर ग्रिड बिंदु ये मान देता है, जिन्हें एक चिकने वक्र के रूप में प्लॉट किया जा सकता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह स्केल का उपयोग करता है या रेट का? यह स्केल पैरामीटर \(b\) का उपयोग करता है। यदि आपके पास इसके बजाय रेट \(\lambda\) है, तो \(b = 1/\lambda\) रख दें।
P और Q में क्या अंतर है? \(P(x)\) यह संभाव्यता है कि चर अधिक-से-अधिक \(x\) है (बाईं ओर से संचयी); \(Q(x) = 1 - P(x)\) यह संभाव्यता है कि चर \(x\) से अधिक होगा, जिसे अक्सर सर्वाइवल फलन कहा जाता है।
a और b धनात्मक क्यों होने चाहिए? गामा वितरण केवल धनात्मक शेप और स्केल के लिए ही परिभाषित होता है। त्रुटियों से बचने के लिए अधनात्मक मानों को शून्य के करीब वाले मान से बदल दिया जाता है, लेकिन सार्थक परिणामों के लिए आपको वैध धनात्मक संख्याएँ ही देनी चाहिए।
