काई-स्क्वायर वितरण क्या है?
काई-स्क्वायर (\(\chi^2\)) वितरण स्वतंत्र मानक प्रसामान्य (standard normal) चरों के वर्गों के योग का वर्णन करता है। इसे केवल एक मान — स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) \(\nu\) (यूनानी अक्षर "nu") — से परिभाषित किया जाता है। यह परिकल्पना परीक्षण (hypothesis testing), गुडनेस-ऑफ़-फ़िट परीक्षण, आसंजिता सारणी (contingency table) के विश्लेषण और प्रसरण के विश्वास अंतराल (confidence intervals) के लिए बेहद अहम है। यह कैलकुलेटर किसी चुनी हुई \(\nu\) के लिए \(x\) के तीन परस्पर जुड़े फलन निकालता है: प्रायिकता घनत्व \(f\), निम्न संचयी प्रायिकता \(P(X \le x)\), और उच्च संचयी प्रायिकता \(Q(X > x)\)।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले तय करें कि आप किस फलन को मुख्य परिणाम के रूप में देखना चाहते हैं। फिर स्वतंत्रता की कोटि \(\nu\) (0 से बड़ा कोई भी मान) और वह बिंदु \(x\) दर्ज करें जिस पर मान निकालना है। \(x\) का प्रारंभिक मान, वृद्धि (increment) और बिंदुओं की संख्या मिलकर एक शृंखला \(x_k = \text{startX} + k\cdot\text{stepX}\) बनाते हैं, जिससे चुने गए फलन की सारणी या ग्राफ़ तैयार होता है। सभी इनपुट विमारहित (dimensionless) हैं, इसलिए किसी इकाई रूपांतरण की ज़रूरत नहीं है।
सूत्र की व्याख्या
घनत्व का सूत्र है $$f(\text{x};\,\nu) = \frac{\text{x}^{\,\frac{\nu}{2}-1}\,e^{-\frac{\text{x}}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ जो \(x \ge 0\) के लिए लागू होता है। संचयी प्रायिकताएँ नियमित अपूर्ण गामा फलन (regularized incomplete gamma function) पर आधारित हैं: $$F(\text{x};\,\nu) = P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ अर्थात् \(P(x,\nu)\) बराबर है \((\nu/2,\, x/2)\) के निम्न अपूर्ण गामा को \(\Gamma(\nu/2)\) से विभाजित करने पर, और $$Q(\text{x};\,\nu) = 1 - P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ हम सारी गणना लघुगणक (log) समष्टि में करते हैं और अपूर्ण गामा के लिए शृंखला विस्तार या सतत भिन्न (Lentz's algorithm) का उपयोग करते हैं, जो सटीक होने के साथ-साथ ओवरफ़्लो से भी बचाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(\nu = 3\) और \(x = 2\) के लिए: \(a = \nu/2 = 1.5\) और \(z = x/2 = 1\)। निम्न संचयी प्रायिकता \(P(2,3)\) लगभग \(0.42759\) है, इसलिए \(Q\) लगभग \(0.57241\) होगा। घनत्व का मान निकलता है $$f(2,3) = \frac{2^{0.5} \cdot e^{-1}}{2^{1.5} \cdot \Gamma(1.5)} \approx 0.20755$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
छोटी \(\nu\) पर \(x = 0\) पर \(f\) अनंत क्यों हो जाता है? जब \(\nu < 2\) होता है, तब \(x = 0\) पर घनत्व अनंत तक चला जाता है; \(\nu = 2\) के लिए यह \(0.5\) के बराबर होता है, और \(\nu > 2\) के लिए वहाँ यह \(0\) होता है।
क्रांतिक मान (critical value) कैसे ज्ञात करें? फलन को निम्न संचयी \(P\) पर सेट करें और \(x\) के अलग-अलग मान आज़माएँ जब तक \(P\) आपके लक्ष्य तक न पहुँच जाए (उदाहरण के लिए \(\nu = 1\) के साथ \(P = 0.95\) पर \(x \approx 3.8415\) मिलता है)।
क्या संचयी प्रायिकता बिल्कुल सटीक है? हाँ — यह संख्यात्मक समाकलन (numerical integration) की जगह क्लोज़्ड-फ़ॉर्म अपूर्ण गामा फलन का उपयोग करती है, इसलिए परिणाम मशीन परिशुद्धता (machine precision) तक सटीक होते हैं।
