Ki-kare dağılımı nedir?
Ki-kare (χ²) dağılımı, bağımsız standart normal değişkenlerin karelerinin toplamını tanımlar. Tek bir değerle, yani serbestlik derecesi \(\nu\) (Yunan harfi "nü") ile parametrelenir ve hipotez testleri, uyum iyiliği testleri, kontenjans tablosu analizleri ve varyans için güven aralıkları açısından temel bir rol oynar. Bu araç, seçtiğiniz bir \(\nu\) için x değerine bağlı üç ilişkili fonksiyonu hesaplar: olasılık yoğunluğu f, alt kümülatif olasılık \(P(X \le x)\) ve üst kümülatif olasılık \(Q(X > x)\).
Nasıl kullanılır?
Önce ana değer olarak hangi fonksiyonu görmek istediğinizi seçin, ardından serbestlik derecesi \(\nu\) değerini (0'dan büyük herhangi bir değer) ve hesaplamanın yapılacağı x noktasını girin. x başlangıç değeri, artış miktarı ve nokta sayısı, seçtiğiniz fonksiyonun tablosunu veya grafiğini oluşturmak için kullanılan \(x_k = \text{startX} + k\cdot\text{stepX}\) serisini tanımlar. Tüm girdiler boyutsuzdur; dolayısıyla herhangi bir birim dönüşümüne gerek yoktur.
Formülün açıklaması
Yoğunluk fonksiyonu, \(x \ge 0\) için
$$f(\text{x};\,\nu) = \frac{\text{x}^{\,\frac{\nu}{2}-1}\,e^{-\frac{\text{x}}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$şeklindedir. Kümülatif olasılıklar, düzenlenmiş tamamlanmamış gama fonksiyonunu kullanır:
$$F(\text{x};\,\nu) = P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$\(P(x,\nu)\), \((\nu/2,\, x/2)\) için alt tamamlanmamış gamanın \(\Gamma(\nu/2)\)'ye bölünmesine eşittir ve \(Q = 1 - P\) olarak bulunur:
$$Q(\text{x};\,\nu) = 1 - P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$Tüm hesaplamaları logaritmik uzayda yapar ve tamamlanmamış gama için bir seri açılımı ya da sürekli kesir (Lentz algoritması) kullanırız; bu yöntem kesin sonuç verir ve taşma (overflow) hatalarını önler.
Çözümlü örnek
\(\nu = 3\) ve \(x = 2\) için: \(a = \nu/2 = 1.5\) ve \(z = x/2 = 1\) olur. Alt kümülatif olasılık \(P(2,3)\) yaklaşık \(0.42759\)'dur; dolayısıyla Q yaklaşık \(0.57241\) olur. Yoğunluk ise
$$f(2,3) = \frac{2^{0.5}\cdot e^{-1}}{2^{1.5}\cdot \Gamma(1.5)} \approx 0.20755$$değerini verir.
Sık sorulan sorular
Küçük \(\nu\) değerleri için f neden x = 0'da sonsuzdur? \(\nu < 2\) olduğunda yoğunluk \(x = 0\) noktasında sonsuza ıraksar; \(\nu = 2\) için 0.5'e eşittir ve \(\nu > 2\) için bu noktada 0 olur.
Kritik değeri nasıl bulurum? Fonksiyonu alt kümülatif P olarak ayarlayın ve P hedefinize ulaşana kadar farklı x değerlerini deneyin (örneğin \(\nu = 1\) ile \(P = 0.95\) için \(x \approx 3.8415\)).
Kümülatif olasılık kesin midir? Evet — sayısal integrasyon yerine kapalı formdaki tamamlanmamış gama fonksiyonunu kullanır; bu nedenle sonuçlar makine hassasiyeti düzeyinde doğrudur.
