カイ２乗分布とは
カイ２乗（χ²）分布は、互いに独立な標準正規変数を二乗して足し合わせた値が従う分布です。パラメータは自由度ν（ギリシャ文字「ニュー」）ただ一つで決まり、仮説検定や適合度検定、分割表（クロス集計）の分析、分散の信頼区間など、統計の幅広い場面で基礎となります。この計算機では、指定した自由度νに対して、xに関する3つの関数――確率密度f、下側累積確率P(X ≤ x)、上側累積確率Q(X > x)――を求めます。
使い方
まず、代表値として表示したい関数を選びます。次に自由度ν（0より大きい任意の値）と、評価したい点xを入力してください。xの初期値・増分・点数を設定すると、\(x_k = \text{startX} + k \cdot \text{stepX}\) で定義される数列が作られ、選んだ関数の表やグラフを描けます。すべての入力は無次元なので、単位の変換は不要です。
計算式の解説
確率密度は、x ≥ 0 のとき $$f(\text{x};\,\nu) = \frac{\text{x}^{\,\frac{\nu}{2}-1}\,e^{-\frac{\text{x}}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ で表されます。累積確率には正則化不完全ガンマ関数を用い、 $$F(\text{x};\,\nu) = P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ は (ν/2, x/2) の下側不完全ガンマを \(\Gamma(\nu/2)\) で割った値、 $$Q(\text{x};\,\nu) = 1 - P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ となります。本計算機ではすべて対数空間で計算し、不完全ガンマには級数展開または連分数（レンツ法）を用いるため、オーバーフローを避けつつ厳密な結果が得られます。
計算例
ν = 3、x = 2 の場合：\(a = \nu/2 = 1.5\)、\(z = x/2 = 1\) となります。下側累積確率は \(P(2,3) \approx 0.42759\) なので、\(Q \approx 0.57241\) です。確率密度は $$f(2,3) = \frac{2^{0.5} \cdot e^{-1}}{2^{1.5} \cdot \Gamma(1.5)} \approx 0.20755$$ と求まります。
よくある質問
νが小さいとき、x = 0 で f が無限大になるのはなぜ？ ν < 2 のとき、密度は x = 0 で無限大に発散します。ν = 2 のときは 0.5、ν > 2 のときは 0 になります。
臨界値はどう求めればよい？ 関数を下側累積確率Pに設定し、Pが目標値に達するまでxを調整します（例：ν = 1 で P = 0.95 のとき \(x \approx 3.8415\)）。
累積確率は厳密ですか？ はい。数値積分ではなく不完全ガンマ関数の閉形式を用いているため、計算機の精度の範囲で正確です。
