カイ2乗分布のパーセント点（分位点）計算機

計算を入力してください

結果

パーセント点x（カイ2乗分位点）

7.267218

カイ2乗分布のCDFが目標確率に等しくなる値x

分布	カイ2乗分布
累積確率モード	lower
確率	0.3
自由度	10

カイ2乗分布のパーセント点計算機とは

このツールは、カイ2乗分布のパーセント点（分位点、または臨界値とも呼ばれます）を求めるものです。累積確率と自由度を入力すると、カイ2乗分布の累積分布関数（CDF）がその確率に等しくなるような値xを返します。これはカイ2乗分布のCDFの逆関数にあたり、仮説検定、適合度検定、分割表の解析、分散の信頼区間など幅広い場面で利用されます。

左裾の領域が陰影付けされ、x 軸上に分位点を示す垂直線が引かれたカイ二乗確率密度曲線 — パーセンタイル x は、下側の累積面積が確率 P に等しくなる点です。

使い方

まず累積確率のモードを選びます。確率が $P = P(X \le x)$（xより左側の面積）で与えられている場合は「下側累積確率P」を選択してください。確率が裾の面積 $Q = P(X > x)$ で与えられている場合は「上側累積確率Q」を選びます。これは片側検定における有意水準αに相当することが多い値です。続いて確率（0より大きく1より小さい値）と自由度（ν、kとも書きます）を入力すると、カイ2乗値xが求められます。

左側に陰影を付けた下側 P と右裾に陰影を付けた上側 Q を示す 2 本のカイ二乗曲線 — 下側確率 P は左側の領域を、上側確率 Q は右裾を陰影で示します。

計算式の解説

自由度νのカイ2乗分布のCDFは、正規化された下側不完全ガンマ関数で表されます。$F(x;\nu) = \text{regularizedGammaP}\left(\frac{\nu}{2}, \frac{x}{2}\right)$。求めたいのはこの逆関数です。$a = \frac{\nu}{2}$ とし、目標とする確率を p（下側モードでは $p = P$、上側モードでは $p = 1 - Q$）とすると、$\text{regularizedGammaP}(a, z) = p$ を z について解き、$x = 2z$ を得ます。本計算機では不完全ガンマ関数に対して級数展開と連分数展開を組み合わせ、ニュートン法と二分法による求根アルゴリズムで確実に収束させています。

$$x_p = F^{-1}\!\left(\text{p}\,;\,\nu\right)\ \text{such that}\ P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x_p}{2}\right) = \text{p}$$

計算例

下側モードで $P = 0.95$、$\nu = 10$ とします。このとき $a = 5$ となり、$\text{regularizedGammaP}(5, z) = 0.95$ を解くと $z \approx 9.1535$、したがって $x = 2z \approx 18.307$ が得られます。これは古典的な臨界値 $\text{chi-square}(0.95, 10) = 18.307$ と一致します。上側モードで $Q = 0.05$、$\nu = 10$ とした場合は $p = 1 - 0.05 = 0.95$ となり、同じく $x \approx 18.307$ が得られます。