什麼是卡方分布百分位數計算機？
這個工具可以求出卡方分布的百分點（又稱分位數或百分位數，通常以臨界值表示）。只要輸入累積機率與自由度，它就會回傳一個數值 \(x\)，使得卡方分布的累積分布函數（CDF）剛好等於你設定的目標機率。它其實就是卡方 CDF 的反函數，在假設檢定、適合度檢定、列聯表分析以及變異數信賴區間等統計應用中相當常見。
使用方法
首先選擇累積模式。若你的機率是 \(P = P(X \le x)\)（也就是 \(x\) 左側的面積），請選「下尾累積 P」；若你的機率是尾端面積 \(Q = P(X > x)\)，也就是單尾檢定中常用的顯著水準 alpha，請選「上尾累積 Q」。接著輸入機率（須嚴格介於 0 與 1 之間）以及自由度（\(\nu\)，也常寫作 \(k\)）。計算機便會回傳對應的卡方數值 \(x\)。
公式說明
自由度為 \(\nu\) 的卡方 CDF 就是正則化下不完全 gamma 函數：\(F(x; \nu) = \text{regularizedGammaP}(\nu/2, x/2)\)。我們要求的是它的反函數。令 \(a = \nu/2\)，目標機率為 \(p\)（下尾模式時 \(p = P\)，上尾模式時 \(p = 1 - Q\)），求解 \(\text{regularizedGammaP}(a, z) = p\) 得到 \(z\)，再以 \(x = 2z\) 求得結果。 $$x_p = F^{-1}\!\left(\text{p}\,;\,\nu\right)\ \text{such that}\ P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x_p}{2}\right) = \text{p}$$ 求解器結合了不完全 gamma 函數的級數展開與連分數法，並搭配 Newton／二分法的求根流程，以確保穩定收斂。
實例演算
以下尾模式為例，設 \(P = 0.95\)、\(\nu = 10\)。此時 \(a = 5\)，求解 \(\text{regularizedGammaP}(5, z) = 0.95\)，得到 \(z \approx 9.1535\)，故 \(x = 2z \approx 18.307\)。這正好對應到經典的臨界值 \(\text{chi-square}(0.95, 10) = 18.307\)。若改用上尾模式，設 \(Q = 0.05\)、\(\nu = 10\)，則 \(p = 1 - 0.05 = 0.95\)，得到的 \(x\) 同樣 \(\approx 18.307\)。
常見問題
P 與 Q 有什麼差別？\(P\) 是 \(x\) 左側的面積（下尾），\(Q\) 是 \(x\) 右側的面積（上尾），兩者相加 \(P + Q = 1\)。
自由度可以是非整數嗎？可以。以 gamma 函數為基礎的公式對任何 \(\nu > 0\) 都成立，只是大多數統計表格仍以整數為主。
機率的有效範圍是多少？必須嚴格滿足 \(0 < \text{機率} < 1\)。當機率為 0 時分位數為 0；當機率趨近 1 時，分位數會無限增大。
