¿Qué es la calculadora del percentil de la distribución chi-cuadrado?
Esta herramienta calcula el punto porcentual de la distribución chi-cuadrado (también llamado cuantil o percentil, y conocido habitualmente como valor crítico). A partir de una probabilidad acumulada y de los grados de libertad, devuelve el valor x para el que la función de distribución acumulada (CDF) de la chi-cuadrado iguala la probabilidad que buscas. Se trata de la función inversa de la CDF de la chi-cuadrado y resulta muy útil en los contrastes de hipótesis, las pruebas de bondad de ajuste, el análisis de tablas de contingencia y los intervalos de confianza para la varianza.
Cómo utilizarla
Elige primero el modo acumulado. Selecciona «P acumulada inferior» cuando tu probabilidad sea \(P = P(X \le x)\), es decir, el área situada a la izquierda de \(x\). Selecciona «Q acumulada superior» cuando tu probabilidad sea el área de la cola \(Q = P(X > x)\), que se corresponde con el nivel de significación alfa habitual en un contraste unilateral. Introduce la probabilidad (estrictamente entre 0 y 1) y los grados de libertad (\(\nu\), que también se escribe \(k\)). La calculadora te devuelve el valor \(x\) de la chi-cuadrado.
La fórmula explicada
La CDF de la chi-cuadrado con \(\nu\) grados de libertad es la función gamma incompleta inferior regularizada: \(F(x; \nu) = \text{regularizedGammaP}(\nu/2, x/2)\). Lo que necesitamos es su inversa. Tomando \(a = \nu/2\) y la probabilidad objetivo \(p\) (donde \(p = P\) en el modo inferior, o bien \(p = 1 - Q\) en el modo superior), resolvemos:
$$x_p = F^{-1}\!\left(\text{p}\,;\,\nu\right)\ \text{such that}\ P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x_p}{2}\right) = \text{p}$$es decir, resolvemos \(\text{regularizedGammaP}(a, z) = p\) para \(z\) y, a continuación, \(x = 2z\). El algoritmo combina un desarrollo en serie y una fracción continua para la gamma incompleta, junto con un método de Newton/bisección que garantiza la convergencia.
Ejemplo resuelto
Supongamos el modo inferior con \(P = 0{,}95\) y \(\nu = 10\). Entonces \(a = 5\) y resolvemos \(\text{regularizedGammaP}(5, z) = 0{,}95\), lo que da \(z \approx 9{,}1535\), de modo que:
$$x = 2z \approx 18{,}307$$Este resultado coincide con el valor crítico clásico \(\chi^2(0{,}95, 10) = 18{,}307\). Si empleamos el modo superior con \(Q = 0{,}05\) y \(\nu = 10\), obtenemos \(p = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\) y el mismo valor \(x \approx 18{,}307\).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre P y Q? P es el área situada a la izquierda de \(x\) (cola inferior); Q es el área situada a la derecha (cola superior), y se cumple que \(P + Q = 1\).
¿Pueden los grados de libertad no ser enteros? Sí. La fórmula basada en la función gamma funciona para cualquier \(\nu > 0\), aunque la mayoría de las tablas estadísticas utilizan números enteros.
¿Qué rango de probabilidad es válido? Estrictamente \(0 < \text{probabilidad} < 1\). En 0 el cuantil vale 0; a medida que la probabilidad se acerca a 1, el cuantil crece sin límite.
