काई-स्क्वायर वितरण परसेंटाइल कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल काई-स्क्वायर वितरण का प्रतिशत बिंदु (जिसे क्वांटाइल या परसेंटाइल भी कहते हैं, और अक्सर क्रांतिक मान के रूप में लिखा जाता है) ज्ञात करता है। जब आप एक संचयी प्रायिकता और स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) देते हैं, तो यह वह मान x लौटाता है जिस पर काई-स्क्वायर का संचयी वितरण फलन (CDF) आपकी लक्षित प्रायिकता के बराबर हो जाता है। यह काई-स्क्वायर CDF का प्रतिलोम (इनवर्स) है और परिकल्पना परीक्षण (hypothesis testing), गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण, आकस्मिकता-तालिका (contingency table) विश्लेषण तथा प्रसरण के लिए विश्वास अंतराल में व्यापक रूप से इस्तेमाल होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले एक संचयी मोड चुनें। यदि आपकी प्रायिकता \(P = P(X \le x)\) है (यानी x के बाईं ओर का क्षेत्रफल), तो "निचली संचयी P" चुनें। यदि आपकी प्रायिकता पुच्छ (tail) क्षेत्रफल \(Q = P(X > x)\) है — जो एकपक्षीय (one-sided) परीक्षण में सामान्यतः सार्थकता स्तर alpha होता है — तो "ऊपरी संचयी Q" चुनें। इसके बाद प्रायिकता (जो पूर्णतः 0 और 1 के बीच हो) तथा स्वतंत्रता की कोटि (nu, जिसे k भी लिखा जाता है) दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको काई-स्क्वायर मान x लौटा देगा।
सूत्र की व्याख्या
nu स्वतंत्रता की कोटि वाला काई-स्क्वायर CDF नियमित निम्न अपूर्ण गामा फलन (regularized lower incomplete gamma function) होता है: \(F(x; \nu) = \text{regularizedGammaP}(\nu/2,\, x/2)\)। हमें इसका प्रतिलोम चाहिए। \(a = \nu/2\) रखकर और लक्षित प्रायिकता p लेकर (जहाँ निचले मोड में \(p = P\), और ऊपरी मोड में \(p = 1 - Q\)), हम z के लिए हल करते हैं:
$$x_p = F^{-1}\!\left(\text{p}\,;\,\nu\right)\ \text{such that}\ P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x_p}{2}\right) = \text{p}$$\(\text{regularizedGammaP}(a, z) = p\) हल करते हैं, फिर \(x = 2z\)। यह सॉल्वर अपूर्ण गामा के लिए श्रेणी विस्तार (series expansion) और सतत भिन्न (continued fraction) को मिलाकर, निश्चित अभिसरण हेतु न्यूटन/द्विभाजन (Newton/bisection) मूल-खोजी विधि का उपयोग करता है।
हल किया गया उदाहरण
निचला मोड लें, \(P = 0.95\), \(\nu = 10\)। तब \(a = 5\) और हम \(\text{regularizedGammaP}(5, z) = 0.95\) हल करते हैं, जिससे \(z \approx 9.1535\) मिलता है, अतः \(x = 2z \approx 18.307\)। यह क्लासिक क्रांतिक मान \(\chi^2(0.95, 10) = 18.307\) से मेल खाता है। ऊपरी मोड में \(Q = 0.05\) और \(\nu = 10\) लेने पर \(p = 1 - 0.05 = 0.95\) बनता है और वही \(x \approx 18.307\) प्राप्त होता है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
P और Q में क्या अंतर है? P, x के बाईं ओर का क्षेत्रफल है (निचली पुच्छ); Q, x के दाईं ओर का क्षेत्रफल है (ऊपरी पुच्छ), और \(P + Q = 1\)।
क्या स्वतंत्रता की कोटि अपूर्णांक (non-integer) हो सकती है? हाँ। गामा-आधारित सूत्र किसी भी \(\nu > 0\) के लिए काम करता है, हालाँकि अधिकांश सांख्यिकीय तालिकाओं में पूर्णांक ही इस्तेमाल होते हैं।
प्रायिकता का कौन-सा परास मान्य है? पूर्णतः \(0 < \text{प्रायिकता} < 1\)। 0 पर क्वांटाइल 0 होता है; और जैसे-जैसे प्रायिकता 1 के पास पहुँचती है, क्वांटाइल बिना किसी सीमा के बढ़ता जाता है।
