बीटा वितरण कैलकुलेटर क्या है?
बीटा वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जो [0, 1] अंतराल पर परिभाषित होता है और दो धनात्मक आकार पैरामीटर \(a\) तथा \(b\) द्वारा नियंत्रित होता है। इसका व्यापक उपयोग बेज़ियन सांख्यिकी (प्रायिकताओं के लिए संयुग्म पूर्व वितरण के रूप में), विश्वसनीयता विश्लेषण, परियोजना अनुसूचन (PERT), और अनुपातों की मॉडलिंग में होता है। यह कैलकुलेटर \(x\) के मानों की एक श्रृंखला पर प्रायिकता घनत्व फलन \(f(x)\), निचली संचयी प्रायिकता \(P(x)\) (संचयी वितरण फलन) और ऊपरी संचयी प्रायिकता \(Q(x)\) (उत्तरजीविता फलन) की गणना करता है, और चुने हुए फलन का रेखा ग्राफ़ बनाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले तय करें कि किस फलन की गणना करनी है, फिर आकार पैरामीटर \(a\) और \(b\) दर्ज करें (दोनों 0 से बड़े होने चाहिए), इसके बाद \(x\) का प्रारंभिक मान, चरण (step) का आकार और पंक्तियों की संख्या सेट करें। यह टूल चुने हुए फलन का मान \(x = \text{initialX},\ \text{initialX} + \text{step},\ \text{initialX} + 2\cdot\text{step}\), और इसी क्रम में निकालता है। डिफ़ॉल्ट मानों (प्रारंभ 0, चरण 0.01, 101 पंक्तियाँ) के साथ आपको \(x = 0.00\) से \(x = 1.00\) तक का पूरा विस्तार मिलता है। परिणाम में पहले \(x\) पर मान, एक पूरी टेबल और एक ग्राफ़ दिखाई देता है।
सूत्र की व्याख्या
घनत्व इस प्रकार है:
$$f(x,a,b) = \frac{x^{\,a-1}\,(1-x)^{\,b-1}}{B(a,b)}$$जहाँ बीटा फलन
$$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$क्षेत्रफल को 1 तक सामान्यीकृत करता है। संख्यात्मक स्थिरता के लिए हम log-gamma फलन (Lanczos सन्निकटन) के साथ काम करते हैं, इसलिए \(B(a,b)\) की गणना \(\exp(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b))\) के रूप में होती है। निचली संचयी प्रायिकता नियमित अपूर्ण बीटा फलन \(I_x(a,b)\) के बराबर होती है, जिसकी गणना Numerical Recipes की सतत-भिन्न (continued-fraction) विधि (betacf/betai) से की जाती है। ऊपरी संचयी प्रायिकता सीधे \(Q = 1 - P\) होती है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(a = 2\), \(b = 3\), \(x = 0.3\)। यहाँ \(B(2,3) = (1\cdot 2)/24 = 0.0833333\), इसलिए
$$f(0.3) = 12 \cdot 0.3 \cdot 0.7^2 = 12 \cdot 0.147 = 1.764$$निचली संचयी प्रायिकता \(P(0.3) = I_{0.3}(2,3) = 0.3483\), और ऊपरी संचयी प्रायिकता \(Q(0.3) = 1 - 0.3483 = 0.6517\)।
मुख्य सूत्र और आघूर्ण
बीटा वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जो समर्थन अंतराल \([0,1]\) पर परिभाषित है, जो दो सकारात्मक आकार पैरामीटर \(a>0\) और \(b>0\) द्वारा नियंत्रित है। इसका प्रायिकता घनत्व फलन है
$$f(x)=\frac{x^{a-1}\,(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$$सामान्यीकरण स्थिरांक \(B(a,b)\) बीटा फलन है, जो गामा फलनों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है
$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$मुख्य आघूर्ण और आकार विवरणक नीचे सारांशित हैं।
| मात्रा | सूत्र | शर्तें |
|---|---|---|
| माध्य | \(\mu=\dfrac{a}{a+b}\) | सभी \(a,b>0\) |
| प्रसरण | \(\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2\,(a+b+1)}\) | सभी \(a,b>0\) |
| बहुलक | \(\dfrac{a-1}{a+b-2}\) | \(a>1,\ b>1\) |
| विषमता | \(\gamma_1=\dfrac{2\,(b-a)\,\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\,\sqrt{ab}}\) | सभी \(a,b>0\) |
उदाहरण के लिए, \(a=2\) और \(b=5\) के साथ माध्य \(\mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}\approx 0.2857\) है और प्रसरण \(\sigma^2=\dfrac{2\cdot 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}\approx 0.0255\) है। चूँकि दोनों पैरामीटर 1 से अधिक हैं, बहुलक \(\dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0.2\) है। जब \(a=b\) होता है तो वितरण \(x=0.5\) के बारे में सममित होता है और विषमता शून्य होती है; जब \(b>a\) होता है तो यह दाईं ओर विषम होता है और जब \(a>b\) होता है तो यह बाईं ओर विषम होता है। विशेष स्थिति \(a=b=1\) \([0,1]\) पर मानक समान वितरण में कम हो जाता है।
परिभाषाएँ और शब्दावली
- आकार पैरामीटर a
- पहला सकारात्मक आकार पैरामीटर (\(a>0\))। यह \(x=0\) के पास घनत्व के व्यवहार को नियंत्रित करता है: \(a<1\) के मान 0 की ओर द्रव्यमान को धकेलते हैं (घनत्व विचलित होता है), \(a=1\) एक सीमित अंतबिंदु देता है, और \(a>1\) घनत्व को 0 पर लुप्त करता है। \(b\) के सापेक्ष बड़ा \(a\) माध्य को 1 की ओर स्थानांतरित करता है।
- आकार पैरामीटर b
- दूसरा सकारात्मक आकार पैरामीटर (\(b>0\))। यह \(x=1\) के पास घनत्व को नियंत्रित करता है उसी दर्पण-छवि तरीके से जिसमें \(a\) 0 के पास व्यवहार को नियंत्रित करता है। \(a\) के सापेक्ष बड़ा \(b\) माध्य को 0 की ओर स्थानांतरित करता है।
- प्रायिकता घनत्व फलन f(x)
- यादृच्छिक चर के दिए गए \(x\) मान को लेने की सापेक्ष संभावना, \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) द्वारा दी गई है \(0\le x\le 1\) के लिए और कहीं और 0। \(f(x)\) के अंतर्गत क्षेत्र \([0,1]\) पर 1 के बराबर है।
- निचली संचयी प्रायिकता P(x) / CDF
- संचयी वितरण फलन, \(P(x)=\Pr(X\le x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\)। यह नियमितकृत अधूरे बीटा फलन \(I_x(a,b)\) के बराबर है और \(x=0\) पर 0 से \(x=1\) पर 1 तक एकरूप रूप से बढ़ता है।
- ऊपरी संचयी प्रायिकता Q(x) / जीवन काल फलन
- पूरक (पूंछ) प्रायिकता, \(Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)\)। यह \(x=0\) पर 1 से \(x=1\) पर 0 तक घटता है।
- बीटा फलन B(a,b)
- वितरण का सामान्यीकरण स्थिरांक, \(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\)। यह सममित है: \(B(a,b)=B(b,a)\)।
- गामा फलन \(\Gamma(z)\)
- फैक्टोरियल का सतत विस्तार, \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\) द्वारा परिभाषित, सकारात्मक पूर्णांकों \(n\) के लिए \(\Gamma(n)=(n-1)!\) के साथ और पुनरावृत्ति \(\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\)।
- नियमितकृत अधूरा बीटा फलन \(I_x(a,b)\)
- अनुपात \(I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\), जो 0 से 1 तक सीमित है और बीटा वितरण का CDF है, इसलिए \(P(x)=I_x(a,b)\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(x\) किस सीमा में हो सकता है? बीटा वितरण [0, 1] पर रहता है; इस अंतराल के बाहर घनत्व 0 होता है।
\(a\) और \(b\) क्या नियंत्रित करते हैं? ये वक्र का आकार तय करते हैं: \(a = b = 1\) समान (uniform) वितरण देता है, बड़े मान द्रव्यमान को माध्य \(a/(a+b)\) के पास केंद्रित करते हैं, और 1 से कम मान द्रव्यमान को किनारों की ओर धकेलते हैं।
किनारों के पास घनत्व बहुत बड़ा क्यों हो सकता है? जब \(a < 1\) हो तो \(x\) के 0 की ओर बढ़ने पर घनत्व अनंत की ओर बढ़ता है, और जब \(b < 1\) हो तो \(x\) के 1 की ओर बढ़ने पर ऐसा होता है; इन सिरों को सीमा (limit) नियमों से संभाला जाता है।
