Qu'est-ce que le calculateur de loi Bêta ?
La loi Bêta est une loi de probabilité continue définie sur l'intervalle [0, 1] et régie par deux paramètres de forme positifs, \(a\) et \(b\). On la retrouve dans de nombreux domaines : la statistique bayésienne (où elle sert de loi a priori conjuguée pour des probabilités), l'analyse de fiabilité, la planification de projets (méthode PERT) ou encore la modélisation de proportions. Ce calculateur évalue la fonction de densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(x)\) (la fonction de répartition) et la probabilité cumulée supérieure \(Q(x)\) (la fonction de survie) sur une grille de valeurs de \(x\), puis trace la courbe de la fonction choisie.
Comment l'utiliser
Sélectionnez la fonction à calculer, saisissez les paramètres de forme \(a\) et \(b\) (tous deux strictement supérieurs à 0), puis indiquez la valeur initiale de \(x\), le pas et le nombre de lignes. L'outil évalue la fonction retenue pour \(x = x\) initial, \(x\) initial + pas, \(x\) initial + 2·pas, et ainsi de suite. Avec les valeurs par défaut (départ 0, pas 0,01, 101 lignes), vous obtenez un balayage complet de \(x = 0{,}00\) à \(x = 1{,}00\). Le résultat affiche la valeur au premier \(x\), un tableau complet et un graphique.
La formule expliquée
La densité s'écrit
$$f(x,a,b) = \frac{x^{\,a-1}\,(1-x)^{\,b-1}}{B(a,b)},$$où la fonction bêta
$$B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$normalise l'aire à 1. Pour garantir la stabilité numérique, on travaille avec le logarithme de la fonction gamma (approximation de Lanczos), de sorte que \(B(a,b)\) se calcule par \(\exp(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b))\). La probabilité cumulée inférieure correspond à la fonction bêta incomplète régularisée \(I_x(a,b)\), obtenue par la méthode des fractions continues des Numerical Recipes (betacf/betai). La probabilité cumulée supérieure est tout simplement \(Q = 1 - P\).
Exemple concret
Prenons \(a = 2\), \(b = 3\), \(x = 0{,}3\). Ici,
$$B(2,3) = \frac{1\cdot 2}{24} = 0{,}0833333,$$donc
$$f(0{,}3) = 12 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^2 = 12 \cdot 0{,}147 = 1{,}764.$$La probabilité cumulée inférieure vaut \(P(0{,}3) = I_{0{,}3}(2,3) = 0{,}3483\), et la probabilité cumulée supérieure \(Q(0{,}3) = 1 - 0{,}3483 = 0{,}6517\).
Formules clés & Moments
La distribution bêta est une distribution de probabilité continue définie sur l'intervalle de support \([0,1]\), gouvernée par deux paramètres de forme positifs \(a>0\) et \(b>0\). Sa fonction de densité de probabilité est
$$f(x)=\frac{x^{a-1}\,(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$$La constante de normalisation \(B(a,b)\) est la fonction bêta, qui s'exprime par des fonctions gamma comme
$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$Les moments principaux et les descripteurs de forme sont résumés ci-dessous.
| Quantité | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Moyenne | \(\mu=\dfrac{a}{a+b}\) | tous \(a,b>0\) |
| Variance | \(\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2\,(a+b+1)}\) | tous \(a,b>0\) |
| Mode | \(\dfrac{a-1}{a+b-2}\) | \(a>1,\ b>1\) |
| Asymétrie | \(\gamma_1=\dfrac{2\,(b-a)\,\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\,\sqrt{ab}}\) | tous \(a,b>0\) |
Par exemple, avec \(a=2\) et \(b=5\) la moyenne est \(\mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}\approx 0,2857\) et la variance est \(\sigma^2=\dfrac{2\cdot 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}\approx 0,0255\). Puisque les deux paramètres dépassent 1, le mode est \(\dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0,2\). Quand \(a=b\) la distribution est symétrique autour de \(x=0,5\) et l'asymétrie est zéro ; quand \(b>a\) elle est asymétrique à droite et quand \(a>b\) elle est asymétrique à gauche. Le cas particulier \(a=b=1\) se réduit à la distribution uniforme standard sur \([0,1]\).
Définitions & Glossaire
- Paramètre de forme a
- Le premier paramètre de forme positif (\(a>0\)). Il contrôle le comportement de la densité près de \(x=0\) : les valeurs \(a<1\) poussent la masse vers 0 (la densité diverge), \(a=1\) donne un point final fini, et \(a>1\) rend la densité nulle à 0. Une \(a\) plus grande relative à \(b\) déplace la moyenne vers 1.
- Paramètre de forme b
- Le deuxième paramètre de forme positif (\(b>0\)). Il gouverne la densité près de \(x=1\) de la même manière symétrique que \(a\) gouverne le comportement près de 0. Une \(b\) plus grande relative à \(a\) déplace la moyenne vers 0.
- Fonction de densité de probabilité f(x)
- La probabilité relative que la variable aléatoire prenne la valeur \(x\), donnée par \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) pour \(0\le x\le 1\) et 0 ailleurs. L'aire sous \(f(x)\) sur \([0,1]\) égale 1.
- Probabilité cumulative inférieure P(x) / FDR
- La fonction de distribution cumulative, \(P(x)=\Pr(X\le x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\). Elle égale la fonction bêta incomplète régularisée \(I_x(a,b)\) et augmente de manière monotone de 0 à \(x=0\) à 1 à \(x=1\).
- Probabilité cumulative supérieure Q(x) / fonction de survie
- La probabilité complémentaire (queue), \(Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)\). Elle diminue de 1 à \(x=0\) à 0 à \(x=1\).
- Fonction bêta B(a,b)
- La constante de normalisation de la distribution, \(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\). Elle est symétrique : \(B(a,b)=B(b,a)\).
- Fonction gamma \(\Gamma(z)\)
- L'extension continue de la factorielle, définie par \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\), avec \(\Gamma(n)=(n-1)!\) pour les entiers positifs \(n\) et la récurrence \(\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\).
- Fonction bêta incomplète régularisée \(I_x(a,b)\)
- Le rapport \(I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\), qui varie de 0 à 1 et est exactement la FDR de la distribution bêta, donc \(P(x)=I_x(a,b)\).
FAQ
Quelles valeurs \(x\) peut-il prendre ? La loi Bêta est définie sur [0, 1] ; en dehors de cet intervalle, la densité est nulle.
Que contrôlent \(a\) et \(b\) ? Ils déterminent la forme de la courbe : \(a = b = 1\) donne la loi uniforme, des valeurs élevées concentrent la masse autour de la moyenne \(a/(a+b)\), et des valeurs inférieures à 1 repoussent la masse vers les bords.
Pourquoi la densité peut-elle devenir très grande près des bords ? Lorsque \(a < 1\), la densité diverge quand \(x\) tend vers 0 ; lorsque \(b < 1\), elle diverge quand \(x\) tend vers 1. Ces points extrêmes sont traités à l'aide de règles de limite.
