Máy Tính Phân Phối Beta là gì?
Phân phối Beta là một phân phối xác suất liên tục xác định trên khoảng [0, 1], được điều khiển bởi hai tham số hình dạng dương là \(a\) và \(b\). Nó được sử dụng rộng rãi trong thống kê Bayes (làm tiên nghiệm liên hợp cho xác suất), phân tích độ tin cậy, lập kế hoạch dự án (PERT) và mô hình hóa các tỷ lệ. Máy tính này tính hàm mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P(x)\) (tức hàm phân phối tích lũy), và xác suất tích lũy trên \(Q(x)\) (hàm sống sót) trên một dãy giá trị \(x\), đồng thời vẽ đồ thị đường của hàm bạn chọn.
Cách sử dụng
Chọn hàm muốn tính, nhập hai tham số hình dạng \(a\) và \(b\) (cả hai đều phải lớn hơn 0), sau đó đặt giá trị \(x\) ban đầu, bước nhảy và số dòng. Công cụ sẽ tính hàm đã chọn tại \(x = \text{initialX},\ \text{initialX} + \text{step},\ \text{initialX} + 2\cdot\text{step}\), và cứ tiếp tục như vậy. Với giá trị mặc định (bắt đầu từ 0, bước 0,01, 101 dòng), bạn sẽ quét trọn vẹn từ \(x = 0{,}00\) đến \(x = 1{,}00\). Kết quả hiển thị giá trị tại \(x\) đầu tiên, một bảng đầy đủ và một đồ thị.
Giải thích công thức
Hàm mật độ là
$$f(x,a,b) = \frac{x^{\,a-1}\,(1-x)^{\,b-1}}{B(a,b)}$$trong đó hàm beta
$$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$chuẩn hóa diện tích về 1. Để đảm bảo ổn định số học, chúng tôi làm việc với hàm log-gamma (xấp xỉ Lanczos), nên \(B(a,b)\) được tính bằng \(\exp(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b))\). Xác suất tích lũy dưới bằng hàm beta không đầy đủ chính quy hóa \(I_x(a,b)\), được tính bằng phương pháp phân số liên tục theo Numerical Recipes (betacf/betai). Xác suất tích lũy trên đơn giản là \(Q = 1 - P\).
Ví dụ minh họa
Lấy \(a = 2\), \(b = 3\), \(x = 0{,}3\). Khi đó
$$B(2,3) = \frac{1\cdot 2}{24} = 0{,}0833333$$nên
$$f(0{,}3) = 12 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^2 = 12 \cdot 0{,}147 = 1{,}764$$Xác suất tích lũy dưới \(P(0{,}3) = I_{0{,}3}(2,3) = 0{,}3483\), và xác suất tích lũy trên \(Q(0{,}3) = 1 - 0{,}3483 = 0{,}6517\).
Các Công Thức & Mômen Chính
Phân phối Beta là một phân phối xác suất liên tục được định nghĩa trên khoảng hỗ trợ \([0,1]\), được kiểm soát bởi hai tham số hình dạng dương \(a>0\) và \(b>0\). Hàm mật độ xác suất của nó là
$$f(x)=\frac{x^{a-1}\,(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$$Hằng số chuẩn hóa \(B(a,b)\) là hàm beta, được biểu thị thông qua các hàm gamma là
$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$Các mômen chính và mô tả hình dạng được tóm tắt dưới đây.
| Đại Lượng | Công Thức | Điều Kiện |
|---|---|---|
| Trung bình | \(\mu=\dfrac{a}{a+b}\) | tất cả \(a,b>0\) |
| Phương sai | \(\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2\,(a+b+1)}\) | tất cả \(a,b>0\) |
| Mode | \(\dfrac{a-1}{a+b-2}\) | \(a>1,\ b>1\) |
| Độ lệch | \(\gamma_1=\dfrac{2\,(b-a)\,\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\,\sqrt{ab}}\) | tất cả \(a,b>0\) |
Ví dụ, với \(a=2\) và \(b=5\) thì trung bình là \(\mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}\approx 0.2857\) và phương sai là \(\sigma^2=\dfrac{2\cdot 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}\approx 0.0255\). Vì cả hai tham số đều vượt quá 1 nên mode là \(\dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0.2\). Khi \(a=b\) thì phân phối đối xứng quanh \(x=0.5\) và độ lệch bằng không; khi \(b>a\) nó lệch phải và khi \(a>b\) nó lệch trái. Trường hợp đặc biệt \(a=b=1\) rút gọn thành phân phối đều chuẩn trên \([0,1]\).
Định Nghĩa & Bảng Thuật Ngữ
- Tham số hình dạng a
- Tham số hình dạng dương thứ nhất (\(a>0\)). Nó kiểm soát hành vi của mật độ gần \(x=0\): các giá trị \(a<1\) đẩy khối lượng về phía 0 (mật độ phân kỳ), \(a=1\) cho điểm cuối hữu hạn, và \(a>1\) làm mật độ biến mất tại 0. Giá trị \(a\) lớn hơn so với \(b\) dịch chuyển trung bình về phía 1.
- Tham số hình dạng b
- Tham số hình dạng dương thứ hai (\(b>0\)). Nó kiểm soát mật độ gần \(x=1\) theo cách đối xứng gương mà \(a\) kiểm soát hành vi gần 0. Giá trị \(b\) lớn hơn so với \(a\) dịch chuyển trung bình về phía 0.
- Hàm mật độ xác suất f(x)
- Khả năng tương đối của biến ngẫu nhiên nhận giá trị \(x\), được cho bởi \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) cho \(0\le x\le 1\) và 0 ở nơi khác. Diện tích dưới \(f(x)\) trên \([0,1]\) bằng 1.
- Xác suất tích lũy dưới P(x) / CDF
- Hàm phân phối tích lũy, \(P(x)=\Pr(X\le x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\). Nó bằng hàm beta không hoàn chỉnh được chuẩn hóa \(I_x(a,b)\) và tăng đơn điệu từ 0 tại \(x=0\) đến 1 tại \(x=1\).
- Xác suất tích lũy trên Q(x) / hàm sống sót
- Xác suất bổ sung (đuôi), \(Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)\). Nó giảm từ 1 tại \(x=0\) đến 0 tại \(x=1\).
- Hàm beta B(a,b)
- Hằng số chuẩn hóa của phân phối, \(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\). Nó đối xứng: \(B(a,b)=B(b,a)\).
- Hàm gamma \(\Gamma(z)\)
- Mở rộng liên tục của giai thừa, được định nghĩa bởi \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\), với \(\Gamma(n)=(n-1)!\) cho các số nguyên dương \(n\) và công thức truy hồi \(\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\).
- Hàm beta không hoàn chỉnh được chuẩn hóa \(I_x(a,b)\)
- Tỷ lệ \(I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\), nằm trong khoảng từ 0 đến 1 và chính xác là CDF của phân phối Beta, vì vậy \(P(x)=I_x(a,b)\).
Câu hỏi thường gặp
x có thể nhận giá trị trong khoảng nào? Phân phối Beta nằm trên khoảng [0, 1]; ngoài khoảng này hàm mật độ bằng 0.
a và b điều khiển điều gì? Chúng định hình dáng đường cong: \(a = b = 1\) cho phân phối đều, giá trị lớn dồn khối lượng xác suất quanh giá trị trung bình \(a/(a+b)\), còn giá trị nhỏ hơn 1 đẩy khối lượng về hai biên.
Vì sao mật độ có thể rất lớn ở gần hai biên? Khi \(a < 1\), mật độ tiến tới vô cùng khi \(x\) tiến về 0; còn khi \(b < 1\), nó tiến tới vô cùng khi \(x\) tiến về 1. Các điểm biên này được xử lý bằng quy tắc giới hạn.
