Phân phối hình học là gì?
Phân phối hình học mô tả số lần thất bại xảy ra trước lần thành công đầu tiên trong một chuỗi các phép thử độc lập, mỗi phép thử có cùng xác suất thành công p. Máy tính này sử dụng quy ước "số lần thất bại trước lần thành công đầu tiên", nên biến ngẫu nhiên x nhận các giá trị 0, 1, 2, … và hàm khối xác suất là \(f(x,p) = p(1-p)^{x}\). Lưu ý: có một dạng phổ biến khác đếm thứ tự phép thử k của lần thành công đầu tiên (k = 1, 2, …); đó không phải dạng được dùng ở đây, trong đó \(x = k - 1\).
Cách sử dụng máy tính
Nhập số lần thất bại trước lần thành công đầu tiên x (một số nguyên không âm) và xác suất thành công của mỗi phép thử p (giá trị nằm trong khoảng từ 0 đến 1). Công cụ sẽ trả về khối xác suất \(f(x,p)\), xác suất tích lũy dưới \(P(X \le x)\), xác suất tích lũy trên \(P(X \ge x)\), và giá trị trung bình (số lần thất bại kỳ vọng).
Giải thích các công thức
Đặt \(q = 1 - p\). Khối xác suất là $$f(x,p) = p\cdot q^{x}.$$ Tổng tích lũy dưới rút gọn lại thành $$P(X \le x) = 1 - q^{x+1}.$$ Phần đuôi trên là $$P(X \ge x) = q^{x}.$$ Giá trị trung bình là $$E[X] = \frac{1 - p}{p}.$$ Một đồng nhất thức hữu ích là \(P(X \le x) + P(X \ge x) = 1 + f(x,p)\), vì cả hai phần đuôi đều tính cả điểm x.
Ví dụ minh họa
Với x = 2 và p = 0,4 (nên q = 0,6): $$f(2,\ 0{,}4) = 0{,}4 \cdot 0{,}6^{2} = 0{,}4 \cdot 0{,}36 = 0{,}144.$$ Tích lũy dưới $$P(X \le 2) = 1 - 0{,}6^{3} = 1 - 0{,}216 = 0{,}784.$$ Tích lũy trên $$P(X \ge 2) = 0{,}6^{2} = 0{,}36.$$ Giá trị trung bình \(= 0{,}6/0{,}4 = 1{,}5\). Kiểm tra: \(0{,}784 + 0{,}36 - 0{,}144 = 1{,}000\).
Câu hỏi thường gặp
x có tính cả phép thử thành công không? Không. Ở đây x chỉ đếm số lần thất bại trước lần thành công đầu tiên, nên x bắt đầu từ 0. Nếu bạn có thứ tự phép thử k của lần thành công đầu tiên, hãy dùng \(x = k - 1\).
Điều gì xảy ra khi p = 1? Thành công được đảm bảo ngay ở phép thử đầu tiên: \(f(0,1) = 1\), \(f(x,1) = 0\) với \(x \ge 1\), và giá trị trung bình bằng 0.
Tại sao giá trị trung bình không xác định khi p = 0? Nếu không phép thử nào thành công, số lần thất bại kỳ vọng là vô hạn, nên công thức \((1 - p)/p\) sẽ chia cho 0.
