ज्यामितीय बंटन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

पहली सफलता से पहले असफलताओं की संख्या x

प्रति परीक्षण सफलता प्रायिकता p

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (3)

1. Cumulative P(X ≤ x)

   

   probability of at most x failures before the first success

2. Cumulative P(X ≥ x)

   

   probability of at least x failures before the first success

3. Mean (Expected Failures)

   

   expected number of failures before the first success

परिणाम

प्रायिकता द्रव्यमान f(x,p)

0.144

P(X = x)

Lower cumulative P(X ≤ x)	0.784
Upper cumulative P(X ≥ x)	0.36
अपेक्षा (माध्य)	1.5

ज्यामितीय बंटन क्या है?

ज्यामितीय बंटन (Geometric Distribution) यह बताता है कि स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला में पहली सफलता मिलने से पहले कितनी असफलताएँ होती हैं, जहाँ हर परीक्षण की सफलता प्रायिकता समान p होती है। यह कैलकुलेटर "पहली सफलता से पहले असफलताओं की संख्या" वाली परिपाटी का उपयोग करता है, इसलिए यादृच्छिक चर \(x\) के मान 0, 1, 2, ... होते हैं और प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) है $$f(x,p) = p(1-p)^{x}$$ ध्यान दें: एक और प्रचलित रूप पहली सफलता वाले परीक्षण की संख्या \(k\) गिनता है (\(k = 1, 2, ...\)); यहाँ उसका उपयोग नहीं किया गया है — यहाँ \(x = k - 1\) होता है।

ज्यामितीय बंटन: पहली सफलता से पहले विफलताओं की संख्या बढ़ने के साथ प्रायिकता ज्यामितीय रूप से घटती है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

पहली सफलता से पहले असफलताओं की संख्या \(x\) (एक अऋणात्मक पूर्णांक) और प्रति परीक्षण सफलता प्रायिकता \(p\) (0 और 1 के बीच का मान) दर्ज करें। यह टूल प्रायिकता द्रव्यमान \(f(x,p)\), निचली संचयी प्रायिकता \(P(X \le x)\), ऊपरी संचयी प्रायिकता \(P(X \ge x)\), और माध्य (असफलताओं की अपेक्षित संख्या) निकाल कर देता है।

सूत्रों की व्याख्या

मान लें \(q = 1 - p\)। प्रायिकता द्रव्यमान है $$f(x,p) = p\cdot q^{x}$$ निचला संचयी योग सरल होकर बन जाता है $$P(X \le x) = 1 - q^{x+1}$$ ऊपरी पुच्छ (tail) है $$P(X \ge x) = q^{x}$$ माध्य है $$E[X] = \frac{1 - p}{p}$$ एक उपयोगी सर्वसमिका है \(P(X \le x) + P(X \ge x) = 1 + f(x,p)\), क्योंकि दोनों पुच्छ बिंदु \(x\) को एक-एक बार गिनते हैं।

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हर प्रयास प्रायिकता (1-p) के साथ विफल होता है जब तक कि प्रायिकता p के साथ पहली सफलता न मिल जाए।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लें \(x = 2\) और \(p = 0.4\) (तब \(q = 0.6\)): $$f(2, 0.4) = 0.4 \cdot 0.6^{2} = 0.4 \cdot 0.36 = 0.144$$ निचला संचयी $$P(X \le 2) = 1 - 0.6^{3} = 1 - 0.216 = 0.784$$ ऊपरी संचयी $$P(X \ge 2) = 0.6^{2} = 0.36$$ माध्य $$= \frac{0.6}{0.4} = 1.5$$ जाँच: \(0.784 + 0.36 - 0.144 = 1.000\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या x में सफल परीक्षण भी गिना जाता है? नहीं। यहाँ \(x\) केवल पहली सफलता से पहले की असफलताओं को गिनता है, इसलिए \(x\) की शुरुआत 0 से होती है। यदि आपके पास पहली सफलता वाले परीक्षण की संख्या \(k\) है, तो \(x = k - 1\) लें।

जब p = 1 हो तो क्या होता है? पहले ही परीक्षण में सफलता निश्चित है: \(f(0,1) = 1\), \(x \ge 1\) के लिए \(f(x,1) = 0\), और माध्य 0 होता है।

p = 0 होने पर माध्य अपरिभाषित क्यों होता है? यदि कभी कोई परीक्षण सफल ही नहीं होता, तो असफलताओं की अपेक्षित संख्या अनंत होती है, इसलिए सूत्र \((1 - p)/p\) में शून्य से भाग देना पड़ता है।